【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 點(diǎn)(n, )在直線y= x+ 上.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , 并求使不等式Tn> 對(duì)一切n∈N*都成立的最大正整數(shù)k的值.
【答案】
(1)解:由題意,得 = ,化為Sn= .
故當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ =n+5,
當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=6=1+5,
∴an=n+5.
(2)解:bn= = = ,
∴Tn= +…+
= = .
由于Tn+1﹣Tn= = >0,
因此Tn單調(diào)遞增,
故(Tn)min=1.
令1 ,解得k<20,
∴kmax=19
【解析】(1)由題意,得 = ,化為Sn= . 利用遞推關(guān)系即可得出.(2)利用“裂項(xiàng)求和”可得Tn , 再利用數(shù)列的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)即可得出.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式,掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線: (為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)分別求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線交曲線于, 兩點(diǎn),交曲線于, 兩點(diǎn),求的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率等于 .現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0,表示不命中;再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據(jù)此估計(jì),該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了提高產(chǎn)品的年產(chǎn)量,某企業(yè)擬在2013年進(jìn)行技術(shù)改革,經(jīng)調(diào)查測算,產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量x萬件與投入技術(shù)改革費(fèi)用m萬元(m≥0)滿足x=3﹣ (k為常數(shù)).如果不搞技術(shù)改革,則該產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量只能是1萬件.已知2013年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元.由于市場行情較好,廠家生產(chǎn)均能銷售出去,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品生產(chǎn)成本的1.5倍(生產(chǎn)成本包括固定投入和再投入兩部分資金)
(1)試確定k的值,并將2013年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為技術(shù)改革費(fèi)用m萬元的函數(shù)(利潤=銷售金額﹣生產(chǎn)成本﹣技術(shù)改革費(fèi)用);
(2)該企業(yè)2013年的技術(shù)改革費(fèi)用投入多少萬元時(shí),廠家的利潤最大?并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC是斜三角形,內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊的長分別為a、b、c.若csinA= acosC.
(1)求角C;
(2)若c= ,且sinC+sin(B﹣A)=5sin2A,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}為等差數(shù)列,且a3=﹣6,a6=0.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式.
(2)若等比數(shù)列{bn}滿足b1=8,b2=a1+a2+a3 , 求{bn}的前n項(xiàng)和公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是一個(gè)公差大于0的等差數(shù)列,且滿足,a2+a7=16
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}滿足等式 (n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1=2,求:
(1)求異面直線A1D與AC所成角的大。
(2)求四面體A1﹣DCA的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為倡導(dǎo)全體學(xué)生為特困學(xué)生捐款,舉行“一元錢,一片心,誠信用水”活動(dòng),學(xué)生在購水處每領(lǐng)取一瓶礦泉水,便自覺向捐款箱中至少投入一元錢.現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了連續(xù)5天的售出和收益情況,如表:
售出水量x(單位:箱) | 7 | 6 | 6 | 5 | 6 |
收益y(單位:元) | 165 | 142 | 148 | 125 | 150 |
(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)預(yù)測售出8箱水的收益是多少元?
附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為: = , = ﹣ ,
參考數(shù)據(jù):7×165+6×142+6×148+5×125+6×150=4420.
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