【題目】如圖，的三條垂線、、交于點(diǎn)，是內(nèi)的任意一點(diǎn).求證：、、的外心、、三點(diǎn)共線.

【答案】見解析

【解析】

證法1 如圖，過點(diǎn)作直線、、，與的三邊、、所在的直線分別交于點(diǎn)、、，聯(lián)結(jié)、、.則易知這三條線段的中點(diǎn)分別是、、的外心、、.

首先證明：、、三點(diǎn)共線.

利用以下性質(zhì)：若平面上一個(gè)角的兩邊與另一角的兩邊對(duì)應(yīng)垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

故，，

.

則

.

根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理知，、、三點(diǎn)共線.

接下來證明：、、三點(diǎn)共線.

作出的三邊、、的中點(diǎn)，分別記為、、.易知、、和、、和、、分別三點(diǎn)共線.則，，.

故.

根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理知，、、三點(diǎn)共線.

證法2 點(diǎn)對(duì)的外接圓的冪為，對(duì)的外接圓的冪為，對(duì)的外接圓的冪為.由，，知、、、四點(diǎn)共圓.則

.

同理，，即點(diǎn)對(duì)三個(gè)圓的冪相同.

又顯然點(diǎn)也對(duì)三個(gè)圓的冪相同，于是，直線是三個(gè)圓中任意兩個(gè)圓的根軸（公共弦所在的直線）.

因此，、、的外接圓除點(diǎn)外還有一個(gè)公共點(diǎn)，且通過點(diǎn).

由連心線垂直平分公共弦知，、、三點(diǎn)均在線段的垂直平分線上.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. B. C. D.

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B.由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，有99%的把握認(rèn)為物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)有關(guān)，某人數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，則他有99%的可能物理優(yōu)秀

C.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則c，k的值分別是和0.3

D.在回歸分析模型中，殘差平方和越大，說明模型的擬合效果越差

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332 714 740 945 593 468 491 272 073 445

992 772 951 431 169 332 435 027 898 719

（1）求出的值，并根據(jù)上述數(shù)表求出該地區(qū)清明節(jié)前后3天中恰好有2天下雨的概率；

（2）從2011年開始到2019年該地區(qū)清明節(jié)當(dāng)天降雨量（單位：）如下表：（其中降雨量為0表示沒有下雨）.

時(shí)間

2011年

2012年

2013年

2014年

2015年

2016年

2017年

2018年

2019年

年份

1

2

3

4

5

6

7

8

9

降雨量

29

28

26

27

25

23

24

22

21

經(jīng)研究表明：從2011年開始至2020年， 該地區(qū)清明節(jié)有降雨的年份的降雨量與年份成線性回歸，求回歸直線，并計(jì)算如果該地區(qū)2020年（）清明節(jié)有降雨的話，降雨量為多少？（精確到0.01）

參考公式：.

參考數(shù)據(jù)：，，，.

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（2）設(shè)為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列.

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