Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4．E是PD的中點．

(Ⅰ)求證：平面PDC⊥平面PAD；

(Ⅱ)求二面角E－AC－D所成平面角的余弦值；

(Ⅲ)求B點到平面EAC的距離．

Answer 1

答案：
解析：

　　解法一：

(Ⅰ)　　　　　2分

　　　　

　　而　　　　　　　　　　　　　4分

　　　　　　　　　　　　　　　　5分

　　(Ⅱ)連結(jié)、，取中點，連結(jié)，則，

　　∵平面，∴平面，

　　過作交于，連結(jié)，

　　則就是二面角所成平面角.　　　　　　　　　7分

　　由，則.

　　在中，　解得

　　因為是的中點，所以　　　　　　　　　8分

　　而，由勾股定理可得　　　　　　　　　9分

　　　　　　　　　　　　　10分

　　(Ⅲ)連結(jié)，在三棱錐中，

　　　　　　　12分

　　　　　點到底面的距離，

　　則由，即　　13分

　　　求得

　　所以點到平面的距離是.　　　　　　　14分

　　解法二：

以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則(0，0，0)，(2，0，0)，(2，4，0)，(0，4，0)，

　　(0，2，1)，(0，0，2).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

　　∴＝(2，0，0)，＝(0，4，0)，＝(0，0，2)，＝(－2，0，0)，

　　＝(0，2，1)，＝(2，4，0)，　　　　　　　　　　　　　　3分

　　(Ⅰ)　

　　又　　　　　　　　　　　　　5分

　　　

　　　　而

　　∴平面⊥平面.　　　　　　　　　　　　　7分

　　(Ⅱ)設(shè)平面的法向量

　　由即

　　∴=.　　　　　　　　　　　　　　　　9分

　　平面的法向量＝(0，0，2)，

　　

　　所以二面角所成平面角的余弦值是.　　　11分

　　(Ⅲ)設(shè)點到平面的距離為，

　　＝(2，0，0)，=.　　　　　　　　　12分

　　則=

　　所以點到平面的距離是.　　　　　　14分