Question

1．已知α∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），tan（α-$\frac{π}{6}$）=-2，則sinα=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}-2\sqrt{15}}}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+2\sqrt{15}}}{10}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}+2\sqrt{5}}}{10}$
• D． $\frac{{\sqrt{15}-2\sqrt{5}}}{10}$

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，求得sin（α-$\frac{π}{6}$） 和 cos（α-$\frac{π}{6}$）的值，再利用兩角和的正弦公式求得sinα的值．

解答 解：∵α∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），∴α-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），又 tan（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{sin（α-\frac{π}{6}）}{cos（α-\frac{π}{6}）}$=-2＜0，
∴α-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{2}$，0），∴sin（α-$\frac{π}{6}$）＜0，cos（α-$\frac{π}{6}$）＞0．
再根據(jù) ${sin}^{2}（α-\frac{π}{6}）$+${cos}^{2}（α-\frac{π}{6}）$=1，可得sin（α-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos（α-$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sinα=sin[（α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=sin（α-$\frac{π}{6}$）•cos$\frac{π}{6}$+cos（α-$\frac{π}{6}$） sin$\frac{π}{6}$=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{5}}{5}•\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}-2\sqrt{15}}{10}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)，兩角和的正弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．