【題目】以任意方式把空間染成五種顏色(每點屬于一色,每色的點都有).

(1)證明:存在一個平面,至少含有四種不同顏色的點;

(2)是否一定存在五色平面?

【答案】(1)見解析(2) 不一定.

【解析】

(1)若存在四色線,則含有的平面即為所求.若存在三色線,

則在線外可再取到一個第四色的點,過點和線的平面即為所求.

假若任一直線上都不多于兩色,為此,

用分別表示這五種顏色的點所構(gòu)成的點集.取點,,過的直線記為,則直線上其余的點也屬于或.

不妨設(shè)直線上有點,在空間分別取點、,過的平面記為,

則直線與平面有公共點.

若,則平面即為所求(這時,平面上含有四色).

若,在空間再取一點,過點和直線作平面,

則平面和平面的交線為過的直線.在平面內(nèi),過點的兩條直線和中,

至少有一條要與直線相交,不妨設(shè),則點屬于或.

于是,平面至少含有四色(或含或含).

(2)不一定.例如,若將四面體的四個頂 點分別染成四色,

空間其余的點全染成色,這時,不存在五色平面.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】浙江省現(xiàn)行的高考招生制度規(guī)定除語、數(shù)、英之外，考生須從政治、歷史、地理、物理、化學、生物、技術(shù)這7門高中學考科目中選擇3門作為高考選考科目，成績計入高考總分.已知報考某高校、兩個專業(yè)各需要一門科目滿足要求即可，專業(yè)：物理、化學、技術(shù)；專業(yè)：歷史、地理、技術(shù).考生小李今年打算報考該高校這兩個專業(yè)的選考方式有______ 種.（用數(shù)字作答）

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【題目】在直角坐標系中，已知動直線的參數(shù)方程：，（為參數(shù)，） ，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）若直線與曲線恰好有2個公共點時，求直線的一般方程.

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【題目】中國改革開放以來經(jīng)濟發(fā)展迅猛，某一線城市的城鎮(zhèn)居民2012～2018年人均可支配月收入散點圖如下（年份均用末位數(shù)字減1表示）.

（1）由散點圖可知，人均可支配月收入y（萬元）與年份x之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，試求y關(guān)于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.001），依此相關(guān)關(guān)系預測2019年該城市人均可支配月收入；

（2）在2014～2018年的五個年份中隨機抽取兩個數(shù)據(jù)作樣本分析，求所取的兩個數(shù)據(jù)中，人均可支配月收入恰好有一個超過1萬元的概率.

注：，，

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)從集合中取出個兩兩互質(zhì)的數(shù)的取法有種.求.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2020年新年伊始，新型冠狀病毒來勢洶洶，疫情使得各地學生在寒假結(jié)束之后無法返校，教育部就此提出了線上教學和遠程教學，停課不停學的要求也得到了家長們的贊同．各地學校開展各式各樣的線上教學，某地學校為了加強學生愛國教育，擬開設(shè)國學課，為了了解學生喜歡國學是否與性別有關(guān)，該學校對100名學生進行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：

喜歡國學

不喜歡國學

合計

男生

20

50

女生

10

合計

100

（1）請將上述列聯(lián)表補充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為喜歡國學與性別有關(guān)系？

（2）針對問卷調(diào)查的100名學生，學校決定從喜歡國學的人中按分層抽樣的方法隨機抽取6人成立國學宣傳組，并在這6人中任選2人作為宣傳組的組長，設(shè)這兩人中女生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

，．

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【題目】（本小題10分）選修4—4：坐標系與參數(shù)方程

已知曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=2sinθ。

（Ⅰ）把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程；

（Ⅱ）求C1與C2交點的極坐標（ρ≥0,0≤θ＜2π）

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【題目】為比較甲、乙兩名藍球運動員的近期競技狀態(tài)，選取這兩名球員最近五場比賽的得分制成如圖所示的莖葉圖，有下列結(jié)論：

甲

乙

9

8

5

2

8

9

2

1

3

0

1

2

①甲最近五場比賽得分的中位數(shù)高于乙最近五場比賽得分的中位數(shù).

②甲最近五場比賽得分的平均數(shù)低于乙最近五場比賽得分的平均數(shù).

③從最近五場比賽的得分看，乙比甲更穩(wěn)定.

④從最近五場比賽的得分看，甲比乙更穩(wěn)定.

其中所有正確結(jié)論的編號為（ ）

A.①③B.①④C.②③D.②④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】我市為改善空氣環(huán)境質(zhì)量，控制大氣污染，政府相應出臺了多項改善環(huán)境的措施.其中一項是為了減少燃油汽車對大氣環(huán)境污染.從2018年起大力推廣使用新能源汽車，鼓勵市民如果需要購車，可優(yōu)先考慮選用新能源汽車.政府對購買使用新能源汽車進行購物補貼，同時為了地方經(jīng)濟發(fā)展，對購買本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車比購買外地企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車補貼高.所以市民對購買使用本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車的滿意度也相應有所提高.有關(guān)部門隨機抽取本市本年度內(nèi)購買新能源汽車的戶，其中有戶購買使用本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車，對購買使用新能源汽車的滿意度進行調(diào)研，滿意度以打分的形式進行.滿分分，將分數(shù)按照分成5組，得如下頻率分布直方圖.

（1）若本次隨機抽取的樣本數(shù)據(jù)中購買使用本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車的用戶中有戶滿意度得分不少于分，把得分不少于分為滿意.根據(jù)提供的條件數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表.

滿意

不滿意

總計

購本市企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車戶數(shù)

購外地企業(yè)生產(chǎn)的新能源汽車戶數(shù)

總計

并判斷是否有的把握認為購買使用新能源汽車的滿意度與產(chǎn)地有關(guān)？

（2）以頻率作為概率，政府對購買使用新能源汽車的補貼標準是：購買本市企業(yè)生產(chǎn)的每臺補貼萬元，購買外地企業(yè)生產(chǎn)的每臺補貼萬元.但本市本年度所有購買新能源汽車的補貼每臺的期望值不超過萬元.則購買外地產(chǎn)的新能源汽車每臺最多補貼多少萬元？

附：，其中.

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