【題目】對由和這兩個(gè)數(shù)字組成的字符串,作如下規(guī)定:按從左向右的順序,當(dāng)?shù)谝粋�(gè)子串“”的最后一個(gè)所在數(shù)位是第(,且)位,則稱子串“”在第位出現(xiàn);再繼續(xù)從第位按從左往右的順序找子串“”,若第二個(gè)子串“”的最后一個(gè)所在數(shù)位是第位(其中且),則稱子串“”在第位出現(xiàn);……;如此不斷地重復(fù)下去.如:在字符串中,子串“”在第位和第位出現(xiàn),而不是在第位和第位出現(xiàn).記在位由組成的所有字符串中,子串“”在第位出現(xiàn)的字符串的個(gè)數(shù)為.

（1）求的值;

（2）求證:對任意的正整數(shù),是的倍數(shù).

【答案】（1）（2）答案見解析

【解析】

（1）直接由題意分析求解的值,即可求得答案;

（2）當(dāng)且 時(shí),當(dāng)最后位是時(shí),前個(gè)數(shù)位上,每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都有兩種可能,即和,共有種可能.當(dāng)最后位是時(shí),若最后位是,且前位形成的字符串中是子串“”在第位出現(xiàn)的字符串,此時(shí)不滿足條件.可得且,,,然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明是的倍數(shù),即可求得答案.

（1） 在位數(shù)字符串中,子串“”在第位出現(xiàn)有且只有個(gè),即,

.

在位數(shù)字符串中,子串“”在第位出現(xiàn)有個(gè),即與,

（2）當(dāng)且 時(shí),

當(dāng)最后位是時(shí),前個(gè)數(shù)位上,每個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都有兩種可能,即和,

共有種可能．

當(dāng)最后位是時(shí),若最后位是,且前位形成的字符串中是子串“”在第位出現(xiàn)的字符串,此時(shí)不滿足條件．

且.

,

.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明是的倍數(shù)．

①當(dāng)時(shí),是的倍數(shù);

②假設(shè)當(dāng)時(shí),是的倍數(shù),

當(dāng)時(shí),

是的倍數(shù),且也是的倍數(shù),

是的倍數(shù)．

即當(dāng)時(shí),是的倍數(shù)．

由①,②可知,對任意的正整數(shù),是的倍數(shù)．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)?/span>D，若對任意的x1∈D，總存在x2∈D，使得f（x1）f（x2）＝1，則稱函數(shù)f（x）具有性質(zhì)M.下列結(jié)論：①函數(shù)y＝x3﹣x具有性質(zhì)M；②函數(shù)y＝3x+5x具有性質(zhì)M；③若函數(shù)y＝log8（x+2），x∈[0，t]時(shí)具有性質(zhì)M，則t＝510；④若y具有性質(zhì)M，則a＝5.其中正確結(jié)論的序號是_____.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，.

（1）求證:平面平面；

（2）若二面角的正切值為，求與平面所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠甲、乙兩個(gè)車間包裝同一種產(chǎn)品，在自動包裝傳送帶上每隔一小時(shí)抽一包產(chǎn)品，稱其重量（單位：克）是否合格，分別記錄抽查數(shù)據(jù)，獲得重量數(shù)據(jù)莖葉如圖所示.

（Ⅰ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算甲、乙兩個(gè)車間產(chǎn)品重量的均值與方差，并說明哪個(gè)車間的產(chǎn)品的重量相對穩(wěn)定；

（Ⅱ）若從乙車間件樣品中隨機(jī)抽取兩件，求所抽取兩件樣品重量之差不超過克的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且對一切都成立.

(1)當(dāng)時(shí).

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；

(2)是否存在實(shí)數(shù)，使數(shù)列是等差數(shù)列.如果存在，求出的值；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知是圓的直徑.若與圓外離的圓上存在點(diǎn)，連接與圓交于點(diǎn)，滿足，則半徑的取值范圍是_________.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：（）的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，橢圓C上的一點(diǎn)P到，的距離之和等于4.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，過橢圓C的右焦點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若滿足恒成立，求m的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

Ⅰ當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值并判斷是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；

Ⅱ當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且時(shí)，總有成立，求的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a，b，c，d∈R，矩陣A＝ 的逆矩陣A－1＝.若曲線C在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到直線y＝2x＋1，求曲線C的方程．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案