Question

已知函數(shù).
（1）求函數(shù)在上的最小值；
（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)、且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是.

試題分析：（1）先求出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，并求出相應(yīng)的極小值點(diǎn)，然后就極小值點(diǎn)是否在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行分類(lèi)討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而求出最小值；（2）將函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)方程在定義域上有兩個(gè)不等的實(shí)根，借助參數(shù)分離法先求出當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍，然后求出當(dāng)時(shí)的取值，利用圖象的特點(diǎn)即可以得到當(dāng)時(shí)，參數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1），所以，令，解得，列表如下：

	減	極小值	增

①當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)在處取得最小值，
即，
綜上所述；
（2），所以，
函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、，
等價(jià)于方程有兩個(gè)不等的正實(shí)根，
令，則，令，解得，列表如下：

	減	極小值	增

故函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即，
由圖象知，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根、，
考查當(dāng)時(shí)，的取值，
由題意知，兩式相減得，所以，
故，所以，，所以，
此時(shí)，
故當(dāng)的取值范圍是時(shí)，.