Question

從數(shù)列{a_n}中取出部分項，并將它們按原來的順序組成一個數(shù)列，稱之為數(shù)列{a_n}的一個子數(shù)列．設(shè)數(shù)列{a_n}是一個首項為a₁、公差為d（d≠0）的無窮等差數(shù)列．
（1）若a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，求其公比q．
（2）若a₁=7d，從數(shù)列{a_n}中取出第2項、第6項作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項，試問該數(shù)列是否為{a_n}的無窮等比子數(shù)列，請說明理由．
（3）若a₁=1，從數(shù)列{a_n}中取出第1項、第m（m≥2）項（設(shè)a_m=t）作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項，試問當(dāng)且僅當(dāng)t為何值時，該數(shù)列為{a_n}的無窮等比子數(shù)列，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），由此可求出其公比q=

a2

a1

=3．
（2）設(shè)等比數(shù)列為{b_m}，其公比q=

a6

a2

=

3

2

，bm=a2qm-1=8d•(

3

2

)m-1，由題設(shè)a_n=a₁+（n-1）d=（n+6）d．再由反證法能夠推出該數(shù)列不為{a_n}的無窮等比子數(shù)列．
（3）①設(shè){a_n}的無窮等比子數(shù)列為{b_r}，其公比

am

a1

=

b2

b1

=t（t≠1），得b_r=t^r-1，由此入手能夠推導(dǎo)出t是大于1的正整數(shù)．
②再證明：若t是大于1的正整數(shù)，則數(shù)列{a_n}存在無窮等比子數(shù)列．即證明無窮等比數(shù)列{b_r}中的每一項均為數(shù)列{a_n}中的項．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)t是大于1的正整數(shù)時，數(shù)列{a_n}存在無窮等比子數(shù)列．

解答：解：（1）由題設(shè)，得a₂²=a₁a₅，即（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），得d²=2a₁d，又d≠0，
于是d=2a₁，故其公比q=

a2

a1

=3．
（2）設(shè)等比數(shù)列為{b_m}，其公比q=

a6

a2

=

3

2

，bm=a2qm-1=8d•(

3

2

)m-1，
由題設(shè)a_n=a₁+（n-1）d=（n+6）d．
假設(shè)數(shù)列{b_m}為{a_n}的無窮等比子數(shù)列，
則對任意自然數(shù)m（m≥3），都存在n∈N^*，使a_n=b_m，
即(n+6)d=8d•(

3

2

)m-1，
得n=8(

3

2

)m-1-6，
當(dāng)m=5時，n=8(

3

2

)5-1-6=

69

2

∉N*，與假設(shè)矛盾，
故該數(shù)列不為{a_n}的無窮等比子數(shù)列．
（3）①設(shè){a_n}的無窮等比子數(shù)列為{b_r}，其公比

am

a1

=

b2

b1

=t（t≠1），得b_r=t^r-1，
由題設(shè)，在等差數(shù)列{a_n}中，d=

am-a1

m-1

=

t-1

m-1

，an=1+(n-1)

t-1

m-1

，
因?yàn)閿?shù)列{b_r}為{a_n}的無窮等比子數(shù)列，
所以對任意自然數(shù)r（r≥3），都存在n∈N^*，使a_n=b_r，
即1+(n-1)

t-1

m-1

=tr-1，
得n=

tr-1-1

t-1

(m-1)+1=(tr-2+tr-3+t+1)(m-1)+1，
由于上式對任意大于等于3的正整數(shù)r都成立，且n，m-1均為正整數(shù)，
可知t^r-2+t^r-3+t+1必為正整數(shù)，
又d≠0，
故t是大于1的正整數(shù)．
②再證明：若t是大于1的正整數(shù)，則數(shù)列{a_n}存在無窮等比子數(shù)列．
即證明無窮等比數(shù)列{b_r}中的每一項均為數(shù)列{a_n}中的項．
在等比數(shù)列{b_r}中，b_r=t^r-1，
在等差數(shù)列{a_n}中，d=

am-a1

m-1

=

t-1

m-1

，an=1+(n-1)

t-1

m-1

，
若b_r為數(shù)列{a_n}中的第k項，則由b_r=a_k，得tr-1=1+(k-1)

t-1

m-1

，
整理得k=

tr-1-1

t-1

(m-1)+1=(tr-2+tr-3+t+1)(m-1)+1，
由t，m-1均為正整數(shù)，得k也為正整數(shù)，
故無窮等比數(shù)列{b_r}中的每一項均為數(shù)列{a_n}中的項，得證．
綜上，當(dāng)且僅當(dāng)t是大于1的正整數(shù)時，數(shù)列{a_n}存在無窮等比子數(shù)列．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，難度較大，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免出錯．