Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，若方程有兩個相異實根，且，證明： .

Answer 1

【答案】(1) 在上單調(diào)遞減， 上單調(diào)遞增.(2)見解析.

【解析】試題分析：

（1）由題令，解得（舍去），，結(jié)合圖象可得的符號，進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）將證明的問題轉(zhuǎn)化為比較兩個函數(shù)值大小的問題，然后利用單調(diào)性求解。設(shè)，可得，再通過構(gòu)造函數(shù)的方法可證得，即,最后再利用在上單調(diào)遞增，可得.

試題解析：

（1）因為

所以，

因為，所以，

由得（舍去），，

所以當(dāng)時， 單調(diào)遞減，

當(dāng)時， 單調(diào)遞增，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)時， ，

設(shè)的兩個相異實根分別為，

則滿足，且，

令，

則，所以在上遞減

由題意可知，故，

所以，

令，

則

令，

則，

當(dāng)時， ，

所以是減函數(shù)，

所以，

所以當(dāng)時， ，

所以,

因為， 在上單調(diào)遞增，

所以.