Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{ax-1}{x+1}$，其中a∈R．
（1）若a=1時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性并用定義給予證明；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)f（x），求得單調(diào)區(qū)間，由定義證明單調(diào)性，注意取值、作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論；
（2）應(yīng)用定義，取值、作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論，即可得到a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，$f（x）=1-\frac{2}{x+1}$，在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，+∞）單調(diào)遞增，
設(shè)x₁，x₂是區(qū)間（-1，+∞）上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$．
∵x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴$\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}＜0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上單調(diào)遞增；
同理，當(dāng)x₁，x₂∈（-∞，-1）且x₁＜x₂時(shí)，又x₁-x₂＜0，x₁+1＜0，x₂+1＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增．
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
若使f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，只要f（x₁）-f（x₂）＞0，
而$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{（a+1）（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$，
所以當(dāng)a+1＜0，即a＜-1時(shí)，有f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂），
∴當(dāng)a＜-1時(shí)，f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，
即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，以及應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．