Question

6．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x-1），當0≤x≤1時，f（x）=x²，若函數(shù)y=f（x）-x-a在[0，2]內(nèi)有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為$-\frac{1}{4}＜a＜0$．

Answer 1

分析 由f（x+1）=f（x-1），知函數(shù)f（x）是以2為周期的函數(shù)，函數(shù)y=f（x）-x-a在[0，2]內(nèi)有三個不同的零點，就是函數(shù)y=f（x）與直線l：y=x+a在[0，2]內(nèi)有三個不同的交點，作出圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得
y=x+a與y=x²相切時的a的值，即可得到答案．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴函數(shù)f（x）是以2為周期的函數(shù)，
又函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當0≤x≤1時，f（x）=x²，
∴當-1≤x≤0時，f（x）=x²，
若函數(shù)y=f（x）-x-a在[0，2]內(nèi)有三個不同的零點，就是函數(shù)y=f（x）與直線l：y=x+a在[0，2]內(nèi)有三個不同的交點，
作圖如下：

由圖可知，當直線l：y=x+a過原點與（1，1）（就是直線l₁）時，l與y=x²有兩個交點，此時a=0；
當l與y=x²相切時與函數(shù)y=f（x）表示的曲線有兩個公共點（如圖中直線l₂），由y′=2x=1，知x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{1}{4}$，即切點坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），代入y=x+a得：a=-$\frac{1}{4}$．
當l在直線l₁與l₂之間時，y=f（x）表示的曲線與l有三個公共點，
此時-$\frac{1}{4}$＜a＜0，
故答案為：$-\frac{1}{4}＜a＜0$．

點評 本題考查根的存在與零點個數(shù)的判斷，著重考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，作圖是關(guān)鍵，屬于難題．