Question

如圖,某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道(Rt∆FHE,H是直角頂點(diǎn))來(lái)處理污水,管道越長(zhǎng)，污水凈化效果越好.設(shè)計(jì)要求管道的接口H是AB的中點(diǎn)，E,F分別落在線段BC,AD上.已知AB=20米，AD=10米，記∠BHE=θ.
（1）試將污水凈化管道的長(zhǎng)度L表示為θ的函數(shù),并寫(xiě)出定義域；
（2）若sinθ+cosθ=，求此時(shí)管道的長(zhǎng)度L；
（3）問(wèn)：當(dāng)θ取何值時(shí)，污水凈化效果最好？
并求出此時(shí)管道的長(zhǎng)度.

Answer 1

解：（1）EH=，F(xiàn)H=     EF=  分
由于BE=10tanθ≤10, AF=≤10 故≤tanθ≤,θ∈[,]分
L=++，θ∈[,]
(2) sinθ+cosθ=時(shí)，sinθ•cosθ=,    L=20(+1);
(3)L=++    設(shè)sinθ+cosθ="t" 則sinθ•cosθ=
由于θ∈[,]，所以t=sinθ+cosθ=sin(θ+)∈[,]
L=在[,]內(nèi)單調(diào)遞減，
于是當(dāng)t=時(shí)，即θ=,θ=時(shí)L的最大值20(+1)米

略