Question

3．某單位擬建一個(gè)扇環(huán)形狀的花壇（如圖所示），按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)的周長(zhǎng)為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米．設(shè)小圓弧所在圓的半徑為x米，圓心角為θ（弧度）．
（1）求θ關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知對(duì)花壇的邊緣（實(shí)線部分）進(jìn)行裝飾時(shí)，直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米．設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用之比為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)扇形的周長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．
（2）結(jié)合花壇的面積公式，結(jié)合費(fèi)用之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由題可知30=θ（10+x）+2（10-x），所以θ=$\frac{10+2x}{10+x}$，x∈（0，10）…5
（2）花壇的面積為$\frac{1}{2}$θ（10²-x²）=（5+x）（10-x）=-x²+5x+50（0＜x＜10），
裝飾總費(fèi)用為9θ（10+x）+8（10-x）=170+10x，
所以花壇的面積與裝飾總費(fèi)用之比為y=$\frac{-{x}^{2}+5x+50}{170+10x}$=-$\frac{{x}^{2}-5x-50}{10（17+x）}$．…7
令t=17+x，t∈（17，27）則y=$\frac{39}{10}$-$\frac{1}{10}$（t+$\frac{324}{t}$）≤$\frac{39}{10}$-$\frac{1}{10}$$2\sqrt{324}$=$\frac{3}{10}$，…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)t=18時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x=1，θ=$\frac{12}{11}$．
（若利用雙勾函數(shù)單調(diào)性求最值的，則同等標(biāo)準(zhǔn)給分，但須說明單調(diào)性．）
故當(dāng)x=1時(shí)，花壇的面積與裝飾總費(fèi)用之比最大．…12

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，結(jié)合扇形的周長(zhǎng)和面積公式以及函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．