Question

（本小題滿分14分）
如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，側(cè)面，△是等邊三角形，， ，是線段的中點(diǎn)．
  
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求四棱錐的體積；
（Ⅲ）求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）略（2）（3）

（Ⅰ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823141142546262.gif" style="vertical-align:middle;" />側(cè)面，平面， 
所以．……………………………………………………………2分
又因?yàn)椤?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823141142561266.gif" style="vertical-align:middle;" />是等邊三角形，是線段的中點(diǎn)，
所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823141143154396.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以平面．…………………………………………………4分
而平面，
所以．……………………………………………………………5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：平面，所以是四棱錐的高．
由，，可得．
因?yàn)椤?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823141142561266.gif" style="vertical-align:middle;" />是等邊三角形，
可求得．
所以．………………9分

（Ⅲ）解：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則，，，．
，，．
設(shè)為平面的法向量．
由  即
令，可得．………………………12分
設(shè)與平面所成的角為．
．
所以與平面所成角的正弦值為． …………………………………14分