Question

【題目】如果數(shù)列對(duì)于任意，都有，其中為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列是“間等差數(shù)列”，為“間公差”.若數(shù)列滿(mǎn)足，，.

（1）求證：數(shù)列是“間等差數(shù)列”，并求間公差；

（2）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若的最小值為-153，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）類(lèi)似地：非零數(shù)列對(duì)于任意，都有，其中為常數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列是“間等比數(shù)列”，為“間公比”.已知數(shù)列中，滿(mǎn)足，，，試問(wèn)數(shù)列是否為“間等比數(shù)列”，若是，求最大的整數(shù)使得對(duì)于任意，都有；若不是，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）63.

【解析】

（1）直接利用定義求出數(shù)列為間等差數(shù)列．

（2）利用分類(lèi)討論思想，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列的和，進(jìn)一步利用不等量關(guān)系求出結(jié)果．

（3）利用分類(lèi)討論思想，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用函數(shù)的單調(diào)性求出k的最大值．

（1）若數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+an+1＝2n﹣35，n∈N*，則：an+1+an+2＝2（n+1）﹣35，

兩式相減得：an+2﹣an＝2．故數(shù)列{an}是“間等差數(shù)列”，公差d＝2．

（2）（i）當(dāng)n＝2k時(shí)，

（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an﹣1+an）＝﹣33﹣29+…+（2n﹣37）＝

易知：當(dāng)n＝18時(shí)，最小值S18＝﹣153．

（ii）當(dāng)n＝2k+1時(shí)，

Sn＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（an﹣1+an）＝a1+（﹣31）+（﹣29）+…+（2n﹣37）＝，

當(dāng)n＝17時(shí)最小，其最小值為S17＝a﹣136，要使其最小值為﹣153，

則：a﹣136≥﹣153，解得：a≥﹣17．

（3）易知：cncn+1＝2018（）n﹣1，則：cn+1cn+2＝2018（）n，

兩式相除得：，故數(shù)列{cn}為“間等比數(shù)列”，其間等比為．，

易求出數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，

由于n＞n+1，則數(shù)列{n}單調(diào)遞減．那么，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)都為單調(diào)遞減，所以：k＞0．

要使數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列．只需2m﹣1＞2m＞2m+1，

即：，

解得，即最大的整數(shù).