Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC＝，AB＝2BC＝2，AC⊥FB.

(1)求證：AC⊥平面FBC；

(2)求四面體FBCD的體積；

(3)線段AC上是否存在點(diǎn)M，使得EA∥平面FDM？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】(1) 見解析．(2) ．(3) 見解析．

【解析】試題分析：

（1）（2）（3）

試題解析：

(1)證明：在△ABC中，

∵AC＝，AB＝2，BC＝1，

∴，

∴，

∴AC⊥BC．

又AC⊥FB，BC ∩FB＝B，

∴AC⊥平面FBC．

(2)∵AC⊥平面FBC，FC平面FBC，

∴AC⊥FC．

∵CD⊥FC，AC∩CD＝C，

∴FC⊥平面ABCD．

在等腰梯形ABCD中可得∠BCD＝120°，CB＝DC＝1，

∴FC＝1.

∴，

∴四面體FBCD的體積為．

(3)線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC中點(diǎn)時(shí)，有EA∥平面FDM．

證明如下：

連接CE，與DF交于點(diǎn)N，連接MN．

∵四邊形CDEF為正方形，

∴N為CE中點(diǎn)．

∴EA∥MN．

又MN平面FDM，EA平面FDM，

∴EA∥平面FDM．

故線段AC上存在點(diǎn)M，使得EA∥平面FDM成立．