已知圓O的半徑為2，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為兩切點(diǎn)，設(shè)∠APO=α．那么2S△PAB•cot2α的最小值為（　　）
分析：由題意畫出圖形，求出PA，PO，A到PO的距離為AC，PC，求出S△PAB．得到2S△PAB•cot2α，化簡利用基本不等式求出最小值．
解答：解：由題意PA=
2
tanα
，PO=
2
sinα

A到PO的距離為AC=2cosα，PC=
2
tanα
•cosα
所以S△PAB=2×
1
2
PC•AC=
2
tanα
•2cosα•cosα．
2S△PAB•cot2α=
4
tanα
•2cosα•cosα•cot2α
=
4cos2α•(1-2sin2α)
sin2α

=
4(1-sin2α)(1-2sin2α)
sin2α

=
4
sin2α
-12+8sin2α≥-12+8
2
，當(dāng)且僅當(dāng)sin4α=
1
2
時，取等號．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，三角形的面積的求法，三角函數(shù)的化簡以及基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知圓O的半徑為2，從圓O外一點(diǎn)A引切線AD和割線ABC，圓心O到AC的距離為
3
，AB=3，則切線AD的長為
15
15
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•肇慶一模）（幾何證明選講選做題）
如圖所示，已知圓O的半徑為2，從圓O外一點(diǎn)A引切線AB和割線AD，C為AD與圓O的交點(diǎn)，圓心O到AD的距離為
3
，AB=
15
，則AC的長為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年廣東省梅州市梅縣華僑中學(xué)高三（上）第三次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

如圖，已知圓O的半徑為2，從圓O外一點(diǎn)A引切線AD和割線ABC，圓心O到AC的距離為，AB=3，則切線AD的長為    ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年廣東省肇慶市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

（幾何證明選講選做題）
如圖所示，已知圓O的半徑為2，從圓O外一點(diǎn)A引切線AB和割線AD，C為AD與圓O的交點(diǎn)，圓心O到AD的距離為，，則AC的長為    ．

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