已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0,a6+a8=-10.
(I) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(II)記bn=an•(
12
)n-1
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn
分析:(Ⅰ)由等差數(shù)列{an}滿足a2=0,a6+a8=-10,知
a1+d=0
a1+5d+a1+7d=-10
,由此能求出an
(II)由an=2-n,知bn=an•(
1
2
)n-1
=(2-n)•(
1
2
n-1,故{bn}的前n項(xiàng)和Sn=(2-1)•(
1
2
0+(2-2)•(
1
2
1+(2-3)•(
1
2
2+(2-4)•(
1
2
3+…+(2-n)•(
1
2
n,由此利用錯(cuò)位相減法能求出Sn
解答:解:(Ⅰ)∵等差數(shù)列{an}滿足a2=0,a6+a8=-10,
a1+d=0
a1+5d+a1+7d=-10
,
解得a1=1,d=-1.
∴an=1+(n-1)×(-1)=2-n.
(II)∵an=2-n,
∴bn=an•(
1
2
)n-1
=(2-n)•(
1
2
n-1
∴{bn}的前n項(xiàng)和Sn=(2-1)•(
1
2
0+(2-2)•(
1
2
1+(2-3)•(
1
2
2+(2-4)•(
1
2
3+…+(2-n)•(
1
2
n-1,①
1
2
Sn
=(2-1)•(
1
2
)+(2-2)•(
1
2
2+(2-3)•(
1
2
3+(2-4)•(
1
2
4+…+(2-n)•(
1
2
n,②
①-②,得
1
2
Sn
=1-[
1
2
+(
1
2
2+(
1
2
3+…+(
1
2
n]-(2-n)•(
1
2
n
=1-
1
2
[1-(
1
2
)n]
1-
1
2
-(2-n)•(
1
2
n+1
=(
1
2
n-(2-n)•(
1
2
n+1=
n
2n-1
;
∴Sn=
n
2n-1
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用.
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