Question

13．定義非零向量$\overrightarrow{OM}$=（a，b）的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量$\overrightarrow{OM}$=（a，b）稱為函數(shù)f（x）=asinx+bcosx（x∈R）的“相伴向量”（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S
（1）設(shè)h（x）=$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{6}$）+3cos（$\frac{π}{3}$-x）（x∈R），請(qǐng)問函數(shù)h（x）是否存在相伴向量$\overrightarrow{OM}$，若存在，求出與$\overrightarrow{OM}$共線的單位向量；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2）已知點(diǎn)M（a，b）滿足：$\frac{a}∈（0，\sqrt{3}$]，向量$\overrightarrow{OM}$的“相伴函數(shù)”f（x）在x=x₀處取得最大值，求tan2x₀的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用誘導(dǎo)公式可得f（x）=$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{6}$）+3sin（x+$\frac{π}{6}$），再根據(jù)新定義即可判斷．
（2）由f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+φ），可求得x₀=2kπ+$\frac{π}{2}$-φ，k∈Z時(shí)f（x）取得最大值，其中tanx₀=cotφ=$\frac{a}$，再利用二倍角的正切可求得tan2x₀的范圍

解答 解：（1）h（x）=$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{6}$）+3cos（$\frac{π}{3}$-x）=$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{6}$）+3cos[$\frac{π}{2}$-（x+$\frac{π}{6}$）]=$\sqrt{3}$cos（x+$\frac{π}{6}$）+3sin（x+$\frac{π}{6}$），
∴函數(shù)h（x）存在相伴向量$\overrightarrow{OM}$，且$\overrightarrow{OM}$=（3，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{OM}$共線的單位向量為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）
（2）$\overrightarrow{OM}$的相伴函數(shù)f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+φ），
其中cosφ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，sinφ=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$
當(dāng)x+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z即x₀=2kπ+$\frac{π}{2}$-φ，k∈Z時(shí)f（x）取得最大值，
∴tanx₀=tan（2kπ+$\frac{π}{2}$-φ）=cotφ=$\frac{a}$，
∴tan2x₀=$\frac{2tan{x}_{0}}{1-ta{n}^{2}{x}_{0}}$=$\frac{2×\frac{a}}{1-（\frac{a}）^{2}}$=$\frac{2}{\frac{a}-\frac{a}}$．
令m=$\frac{a}$，
則tan2x₀=$\frac{2}{m-\frac{1}{m}}$，m∈[0，$\sqrt{3}$]，
∴$\frac{1}{m}$≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴-$\frac{1}{m}$≤-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴m-$\frac{1}{m}$∈（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]，
∴tan2x₀∈（-∞，0）∪[$\sqrt{3}$，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查二倍角的正切與向量的模，考查綜合分析與解不等式的能力，難度大，屬于難題．