Question

20．已知函數(shù)$f（x）=2{sin^2}（{x-\frac{π}{6}}）-1$（x∈R），則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． 函數(shù)f（x）是最小正周期為π的奇函數(shù)
• B． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{12}$對稱
• C． 函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{\frac{π}{6}，\frac{5π}{12}}]$上是增函數(shù)
• D． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點$（{-\frac{π}{12}，0}）$對稱

Answer 1

分析 將函數(shù)f（x）化簡，根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷即可．

解答 解：函數(shù)$f（x）=2{sin^2}（{x-\frac{π}{6}}）-1$=-cos2（x-$\frac{π}{6}$）=-cos（2x-$\frac{π}{3}$）．
最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，f（-x）=-cos（-2x-$\frac{π}{3}$）=-cos（2x+$\frac{π}{3}$）≠-f（x），不是奇函數(shù)，A不對．
當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時，即f（$\frac{π}{12}$）=-cos（2×$\frac{π}{12}$-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，不是最值，B不對．
由f（x）在$-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$$≤\frac{π}{2}$是單調(diào)遞減，可得：$-\frac{π}{12}≤x≤\frac{5π}{12}$．∴函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{\frac{π}{6}，\frac{5π}{12}}]$上是減函數(shù)，C不對．
當(dāng)x=-$\frac{π}{12}$時，即f（-$\frac{π}{12}$）=-cos（-2×$\frac{π}{12}$-$\frac{π}{3}$）=-cos$\frac{π}{2}$=0．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點$（{-\frac{π}{12}，0}）$對稱．D對．
故選：D．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，屬于基礎(chǔ)題．