20.如圖,已知圓$C:{(x+\sqrt{3})^2}+{y^2}=8,A(\sqrt{3},0)$,Q是圓上一動(dòng)點(diǎn),AQ的垂直平分線交直線CQ于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E.
(Ⅰ)求軌跡E的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)A作傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l交軌跡E于B,D兩點(diǎn),求|BD|的值.

分析 (Ⅰ)先根據(jù)雙曲線的定義,確定軌跡E是以A,C為焦點(diǎn),實(shí)軸長為2$\sqrt{2}$的雙曲線的左支,再寫出雙曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)切線l的方程y=x-$\sqrt{3}$,代入$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1,消元得x2-4$\sqrt{3}$x-8=0,由此,即可求|BD|的值.

解答 解:(Ⅰ)由題意得|MC|-|MA|=|MC|-|MQ|=|CQ|=2$\sqrt{2}$<2$\sqrt{3}$,
∴軌跡E是以A,C為焦點(diǎn),實(shí)軸長為2$\sqrt{2}$的雙曲線的左支…(2分)
∴軌跡E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1(x$≤\sqrt{2}$)…(4分)
(Ⅱ)設(shè)切線l的方程為y=x-$\sqrt{3}$,代入$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1,消元得x2-4$\sqrt{3}$x-8=0.(8分)
設(shè)B,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),
則x1+x2=4$\sqrt{3}$,x1x2=-8
所以|BD|=$\sqrt{1+1}•\sqrt{48+32}$=4$\sqrt{10}$.(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義,考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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