【題目】已知函數(shù)．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)a＝3時，函數(shù)有且只有兩個零點．

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）詳見解析．

【解析】

（1）由，分和兩種情況進(jìn)行討論得出函數(shù)的單調(diào)性.
（2）函數(shù)有且只有兩個零點,即方程有且只有兩個實數(shù)根，即有且只有兩個實數(shù)根，設(shè)，求出導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點存在原理得出結(jié)論,使得問題得證.

解：（1）的定義域為，．

①時，，則在是單調(diào)遞增；

②時，由得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，單調(diào)遞增．

綜上，時在是單調(diào)遞增；

時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（2）．，令，

則，令，

顯然時，，

時，，所以在上單調(diào)遞增.

,

易知存在唯一，使，且時，，即，單調(diào)遞減；

時，，即，單調(diào)遞增，

所以至多有兩個零點．又，，，

故在區(qū)間和各有一個零點．所以函數(shù)有且只有兩個零點．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)的四點，且A（1，3），B（2，–2），C（4，1）．

（1）若，求D點的坐標(biāo)；

（2）設(shè)向量，，若k–與+3平行，求實數(shù) 的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若不等式的解集為，求實數(shù)的值；

（2）在（1）的條件下，若存在實數(shù)使成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若數(shù)列滿足：存在正整數(shù)T，對于任意正整數(shù)n都有成立，則稱數(shù)列為周期數(shù)列，周期為T.已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）

A.若，則m可以取3個不同的值；

B.若，則數(shù)列是周期為3的數(shù)列；

C.對于任意的且T≥2，存在，使得是周期為的數(shù)列

D.存在且，使得數(shù)列是周期數(shù)列

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠APC＝90°，∠BPD＝120°，PB＝PD．

（1）求證：平面APC⊥平面BPD；

（2）若AB＝2AP＝2，求三棱錐C-PBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2016年入冬以來，各地霧霾天氣頻發(fā)，頻頻爆表（是指直徑小于或等于微米的顆粒物），各地對機(jī)動車更是出臺了各類限行措施，為分析研究車流量與的濃度是否相關(guān)，某市現(xiàn)采集周一到周五某一時間段車流量與的數(shù)據(jù)如下表：

時間

周一

周二

周三

周四

周五

車流量（萬輛）

50

51

54

57

58

的濃度（微克/立方米）

69

70

74

78

79

（1）請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，在上面給出的坐標(biāo)系中畫出散點圖；

（2）試判斷與是否具有線性關(guān)系，若有請求出關(guān)于的線性回歸方程，若沒有，請說明理由；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】以直角坐標(biāo)系的原點為極點， 軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，點的極坐標(biāo)為，圓以為圓心，4為半徑；又直線的極坐標(biāo)方程為。

（Ⅰ）求直線和圓的普通方程；

（Ⅱ）試判定直線和圓的位置關(guān)系．若相交，則求直線被圓截得的弦長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，.

（1）若，判斷函數(shù)在的單調(diào)性；

（2）證明： ，；

（3）設(shè) ，對，，有恒成立，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年1月10日，引發(fā)新冠肺炎疫情的COVID-9病毒基因序列公布后，科學(xué)家們便開始了病毒疫苗的研究過程.但是類似這種病毒疫苗的研制需要科學(xué)的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做動物試驗.已知一個科研團(tuán)隊用小白鼠做接種試驗，檢測接種疫苗后是否出現(xiàn)抗體.試驗設(shè)計是：每天接種一次，3天為一個接種周期.已知小白鼠接種后當(dāng)天出現(xiàn)抗體的概率為，假設(shè)每次接種后當(dāng)天是否出現(xiàn)抗體與上次接種無關(guān).

（1）求一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)抗體次數(shù)的分布列；

（2）已知每天接種一次花費100元，現(xiàn)有以下兩種試驗方案：

①若在一個接種周期內(nèi)連續(xù)2次出現(xiàn)抗體即終止本周期試驗，進(jìn)行下一接種周期，試驗持續(xù)三個接種周期，設(shè)此種試驗方式的花費為元；

②若在一個接種周期內(nèi)出現(xiàn)2次或3次抗體，該周期結(jié)束后終止試驗，已知試驗至多持續(xù)三個接種周期，設(shè)此種試驗方式的花費為元.

比較隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望的大小.

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