Question

為了加強(qiáng)環(huán)保建設(shè)，提高社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益，長(zhǎng)沙市計(jì)劃用若干時(shí)間更換5000輛燃油型公交車，每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，替換車為電力型和混合動(dòng)力型車，今年初投入了電力型公交車128輛，混合動(dòng)力型公交車400輛：計(jì)劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%，混合動(dòng)力型車每年比上一年多投入a輛．
（1）求經(jīng)過(guò)n年，該市被更換的公交車總數(shù)S（n）；
（2）若該市計(jì)劃5年內(nèi)完成全部更換，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)a_n，b_n分別為第n年投入的電力型公交車，混合動(dòng)力型公交車的數(shù)量，依題意，{a_n}是首項(xiàng)為128，公比為1+50%=1.5的等比數(shù)列，{b_n}是首項(xiàng)為400，公差為a的等差數(shù)列，利用數(shù)列的求和公式，可求經(jīng)過(guò)n年，該市被更換的公交車總數(shù)；
（2）利用（1）中的S（n），建立不等式，即可求得a的最小值．

解答：解：（1）設(shè)a_n，b_n分別為第n年投入的電力型公交車，混合動(dòng)力型公交車的數(shù)量，
依題意，{a_n}是首項(xiàng)為128，公比為1+50%=1.5的等比數(shù)列，{b_n}是首項(xiàng)為400，公差為a的等差數(shù)列，
∴{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=256（1.5ⁿ-1），{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=400n+

n(n-1)

2

a
所以經(jīng)過(guò)n年，該市更換的公交車總數(shù)為：S（n）=S_n+T_n=256（1.5ⁿ-1）+400n+

n(n-1)

2

a；
（2）若計(jì)劃5年內(nèi)完成全部更換，所以S（7）≥5000
所以256（1.5ⁿ-1）+400n+

n(n-1)

2

a=256（1.5⁵-1）+400×5+10a≥5000
因?yàn)閍∈N^*，所以a≥132
所以a的最小值為132．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查數(shù)列模型的建立，考查解不等式，解題時(shí)要認(rèn)真審題，挖掘數(shù)量間的相互關(guān)系，合理地建立方程，仔細(xì)求解．