Question

（本小題滿分13分）已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）求函數(shù)的最小值；

（2）若≥0對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；

（3）在（2）的條件下，證明：

Answer 1

（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)，討論函數(shù)的單調(diào)性，可求函數(shù)的最小值；

（2）問(wèn)題即為對(duì)任意的恒成立，即在上，.，設(shè)，即解討論函數(shù)的單調(diào)性，可得

（3）（2）得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令

則，即，所以，累加即可得證

試題解析：（1）由題意，

由得.

當(dāng)時(shí)， ;當(dāng)時(shí)，.

∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

即在處取得極小值，且為最小值，

其最小值為

（2）對(duì)任意的恒成立，即在上，.

由（1），設(shè)，所以.

由得.

易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴ 在處取得最大值，而.

因此的解為，∴

（3）由（2）得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令

則，即，所以

累加得

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)證明有關(guān)命題