Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求整數(shù)m的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.

（2）的最大值為

【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)，得到，設(shè)，分為，即；分，進(jìn)行討論，得到的正負(fù)，即的正負(fù)，從而得到的單調(diào)性；

（2）根據(jù)題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，設(shè)則，求導(dǎo)得到，令，根據(jù)，得到單調(diào)遞增，從而得到存在唯一的，使得，得到，通過(guò)進(jìn)行代換，得到的范圍，結(jié)合為整數(shù)，從而得到的最大值.

（1）函數(shù)，

所以，

設(shè)，其對(duì)稱(chēng)軸為

①時(shí)，即時(shí)，，

所以，在上單調(diào)遞增；

②時(shí)，即時(shí)，由得

，

1）時(shí)，即時(shí)，

此時(shí)，

在小于，在大于

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

2）時(shí)，即時(shí)，

此時(shí)，

在大于，在小于，在大于，

所以在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減；

綜上所述：

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，

即不等式恒成立，

設(shè)，則

由，

，

，

所以在恒成立，

所以在單調(diào)遞增，

又，，

所以，存在唯一的，

使得①

且時(shí)，，∴單調(diào)遞減，

時(shí)，，∴單調(diào)遞增，

∴

由①代換可得

又，∴，

又易知：在單調(diào)遞增，

所以，

又且為整數(shù).

所以的最大值為.