證明函數(shù)f(x)=-x2+2x在(-∞,1］上是增函數(shù).

思路分析:證明本例所依據(jù)的大前提是增函數(shù)的定義,即函數(shù)滿足:在給定區(qū)間內(nèi)任取自變量的兩個(gè)值x1,x2,若x1＜x2,則有f(x1)＜f(x2).小前提是f(x)=-x2+2x,x∈(-∞,1］滿足函數(shù)的定義,這是證明本例的關(guān)鍵.

證明:任取x1,x2∈(-∞,1］,且x1＜x2,

f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1)-(-x22+2x2)

=(x2-x1)(x2+x1-2).

∵x1＜x2,∴x2-x1＞0;

∵x1,x2≤1,x1≠x2,∴x2+x1-2＜0.

因此f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2).

于是,根據(jù)“三段論”,得f(x)=-x2+2x在(-∞,1］上是增函數(shù).

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知不等式（x-1）2≤a2，（a＞0）的解集為A，函數(shù)f(x)=lg
x-2
x+2
的定義域?yàn)锽．
（Ⅰ）若A∩B=φ，求a的取值范圍；
（Ⅱ）證明函數(shù)f(x)=lg
x-2
x+2
的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
x
-2．
（1）求f（x）的定義域和值域；
（2）證明函數(shù)f(x)=
1
x
-2在（0，+∞）上是減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）證明函數(shù)f(x)=
1
x
的奇偶性．
（2）用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)=
1
x
在（0，+∞）上是減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

用定義法證明函數(shù)f(x)=x+
9x
在區(qū)間[3，+∞）上為增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

探究f(x)=x+
1
x
，x∈(0，+∞)的最小值，并確定相應(yīng)的x的值，類表如下：
x
…
1
4
1
3
1
2
 1 2 3 4
…
y
…
17
4
10
3
5
2
 2
5
2
10
3
17
4
…
請(qǐng)觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，完成下列的問(wèn)題：
（1）若x1x2=1，則f（x1）
 
f（x2）（請(qǐng) 用“＞”、“＜”或“=”填上）；若函數(shù)f(x)=x+
1
x
，(x＞0)在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，則在區(qū)間
 
上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)x=
 
時(shí)，f(x)=x+
1
x
，(x＞0)的最小值為
 
．
（3）證明函數(shù)f(x)=x+
1
x
在區(qū)間（1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)．

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