如圖，正方體中，已知為棱上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：；
（2）當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.

(1)詳見解析；(2)直線與平面所成角的正弦是.

解析試題分析：(1)空間中證線線垂直，一般先證線面垂直.那么在本題中證哪條線垂直哪個(gè)面？從圖形可看出，可證面. (2)思路一、為了求直線與平面所成角的正弦值，首先作出直線在平面內(nèi)的射影. 連設(shè),連，可證得面,這樣便是直線與平面所成角.思路二、由于兩兩垂直，故可分別以為軸正向,建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解.
試題解析：連設(shè),連.
(1)由面,知,
又, 故面.
再由面便得⊥.

(2)在正中,,而,
又面,平面,且,
故⊥面,于是,為二面角的平面角.
正方體ABCD—中,設(shè)棱長為,且為棱的中點(diǎn),由平面幾何知識(shí)易得,滿足,故.
再由知面,故是直線與平面所成角.
又,故直線與平面所成角的正弦是.
解二.分別以為軸正向,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體棱長為.
(1)易得.
設(shè),則, ,從而
,于是
(2)由題設(shè),,則,.
設(shè)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，空間中有一直角三角形，為直角，，，現(xiàn)以其中一直角邊為軸，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，將點(diǎn)所在的位置記為，再按逆時(shí)針方向繼續(xù)旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)所在的位置記為.
（1）連接，取的中點(diǎn)為，求證：面面；
（2）求與平面所成的角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖所示，PA⊥平面ABC，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，點(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn)，點(diǎn)M在弧AB上，且OM∥AC.

(1)求證：平面MOE∥平面PAC.
(2)求證：平面PAC⊥平面PCB.
(3)設(shè)二面角M—BP—C的大小為θ，求cos θ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖：在四棱錐中，底面是正方形，，，點(diǎn)在上，且.

（1）求證：平面；   
（2）求二面角的余弦值；
（3）證明：在線段上存在點(diǎn)，使∥平面，并求的長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知圓錐母線長為6，底面圓半徑長為4，點(diǎn)是母線的中點(diǎn)，是底面圓的直徑，底面半徑與母線所成的角的大小等于．

（1）當(dāng)時(shí)，求異面直線與所成的角；
（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在五面體中，四邊形是邊長為的正方形，平面，，，，.

（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且底面ABCD，，E是PA的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面EBD；
（2）若PA=AB=2，求三棱錐P-EBD的高.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖,在斜三棱柱中,側(cè)面⊥底面,側(cè)棱與底面成60°的角,.底面是邊長為2的正三角形,其重心為點(diǎn),是線段上一點(diǎn),且.
 
(1)求證://側(cè)面;
(2)求平面與底面所成銳二面角的余弦值;

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖五面體中,四邊形ABCD是矩形,DA⊥平面ABEF,AB∥EF,AB=EF=2,AF=BE=2,P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點(diǎn).

(1)求證:PQ∥平面BCE;
(2)求證:AM⊥平面ADF.

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