Question

在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c．且滿足（2a-c）cosB=bcosC，sin²A=sin²B+sin²C-λsinBsinC．（λ∈R）．
（Ⅰ）求角B的大��；
（Ⅱ）若λ=

3

，求角C；
（Ⅲ）如果△ABC為鈍角三角形，求λ的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）已知第一個(gè)等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后根據(jù)sinA不為0求出cosB的值，即可確定出角B的大��；
（Ⅱ）已知第二個(gè)等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得到關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosA，把得出關(guān)系式及λ=

3

代入求出cosA的值，即可確定出角C；
（Ⅲ）表示出cosA，由三角形為鈍角三角形，分A為鈍角與C為鈍角兩種情況求出λ的范圍即可．

解答： 解：（Ⅰ）由（2a-c）cosB=bcosC得，（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

，
∵B∈（0，π），∴B=

π

3

；
（Ⅱ）由sin²A=sin²B+sin²C-λsinBsinC，（λ∈R），得：a²=b²+c²-λbc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

λ

2

=

3

2

，
∴A=

π

6

，
則C=

π

2

；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

λ

2

，
如果角A為鈍角，即

π

2

＜A＜

2π

3

，則有-

1

2

＜

λ

2

＜0，
解得：-1＜λ＜0；
如果角C為鈍角，0＜A＜

π

6

，則有

3

2

＜

λ

2

＜1，
解得：

3

＜λ＜2，
綜上，λ∈（-1，0）∪（

3

，2）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．