Question

14．已知函數(shù)f（x）=（x+a）e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)），若x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求a的值；         
（Ⅱ）任意x₁，x₂∈[0，2]時(shí)，證明：|f（x₁）-f（x₂）|≤e．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1）=0，求出a的值；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到f（x）的最小值和最大值，問題轉(zhuǎn)化為|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵f'（x）=e^x+（x+a）e^x=（x+a+1）e^x，
f′（1）=0，
∴a+2=0，
∴a=-2，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=（x-2）e^x，f′（x）=（x-1）e^x，
∴x∈（0，1），f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，x∈（1，2），f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，
∴?x∈[0，2]，f（x）的最小值為f（1）=-e，
而f（0）=-2，f（2）=0，
∴f（x）最大值為f（2）=0，
∴?x₁，x₂∈[0，2]，
|f（x₁）-f（x₂）|≤f（x）_max-f（x）_min=e．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．