Question

（2013•沈陽二模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中，圓C的方程是x²+y²-4x=0，圓心為C．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，曲線C₁：ρ=-4

3

sinθ與圓C相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求直線AB的極坐標(biāo)方程；
（2）若過點(diǎn)C（2，0）的曲線C₂：

x=2+ 3 2 t y= 1 2 t

（t是參數(shù)）交直線AB于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，求|CD|：|CE|的值．

Answer 1

分析：（1）先利用 x=ρcosθ，y=ρsinθ將曲線C₁的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再與圓C的方程聯(lián)立方程組解出交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到AB的直角坐標(biāo)方程，最后再將它化成極坐標(biāo)方程即可；
（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，利用參數(shù)的幾何意義可求|CD|：|CE|的值．

解答：解：（1）在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，
極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)有關(guān)系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，
所以圓C₁的直角坐標(biāo)方程為x²+y²+4

3

y=0，…（2分）
聯(lián)立曲線C：x²+y²-4x=0，得

x=0 y=0

或

x=3 y=- 3

即不妨令A(yù)（0，0），B（3，-

3

），從而直線AB的直角坐標(biāo)方程為：y=-

3

3

x，
所以，ρsinθ=-

3

3

ρcosθ，即tanθ=-

3

3

，…（4分）
所以直線AB的極坐標(biāo)方程為θ=-

π

6

，（ρ∈R）．…（5分）
（2）由（1）可知直線AB的直角坐標(biāo)方程為：y=-

3

3

x，…（6分）
依題令交點(diǎn)D（x₁，y₁）則有

x1=2+ 3 2 t1 y1= 1 2 t1

，
又D在直線AB上，所以，

1

2

t1=-

3

3

（2+

3

2

t₁），解得t₁=-

2 3

3

，
由直線參數(shù)方程的定義知|CD|=|t₁|=

2 3

3

，…（8分）
同理令交點(diǎn)E（x₂，y₂），則有

x2=2+ 3 2 t2 y2= 1 2 t2

，
又E在直線x=0上，所以2+

3

2

t2=0，解得t₂=-

4 3

3

，
所以|CE|=|t₂|=

4 3

3

，…（9分）
所以|CD|：|CE|=

1

2

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化，點(diǎn)到直線的距離公式．要求學(xué)生能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會(huì)在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，屬于中等題．