Question

已知正八面體的棱長為a.

(1)求相鄰兩面所成二面角的大小;

(2)求相鄰兩面中心的距離;

(3)求兩個相對面之間的距離.

Answer 1

解:(1)如圖所示,分別取BE,CD的中點M,N,連結AM,AN,FM,FN,MN.

因為△ACD,△FCD均為全等的正三角形,

所以AN=NF=FM=MA.

故四邊形AMFN為菱形,且CD⊥AN,CD⊥FN,故∠ANF是正八面體相鄰兩面所成二面角的平面角.

在菱形AMFN中,邊長為a.

在正方形BCDE中,邊長為a,連結CE并設CE∩MN=O,則

AO=.

所以AF=2AO=a,

cos∠ANF=.

所以∠ANF=π-arccos.

(2)分別在AN,FN上取一點G₁,G₂,使NG₁=AN,NG₂=FN,則G₁,G₂分別是正三角形ACD和FCD的中心,連結G₁G₂.

則G₁G₂∥AF,故=,得G₁G₂=a.

(3)正八面體兩相對面之間的距離就是菱形對邊之間的距離.在菱形AMFN中,設AN與MF之間的距離為d,則MF·d=MF·AF.

而MF＝a,MN=a,AF=a,

由此可得d=a.