Question

10．如果一個(gè)點(diǎn)時(shí)一個(gè)指數(shù)函數(shù)和一個(gè)對數(shù)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，那么稱這個(gè)點(diǎn)為“好點(diǎn)”，下列四個(gè)點(diǎn)P₁（1，1），P₂（1，2），P₃（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），P₄（2，2）中，“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 可設(shè)指數(shù)函數(shù)為y=a^x，對數(shù)函數(shù)為y=log_bx，容易判斷P₁，P₂不在對數(shù)函數(shù)圖象上，從而判斷這兩點(diǎn)不是“好點(diǎn)”，然后將P₃的坐標(biāo)分別代入指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)解析式，從而可解出a，b，進(jìn)而判斷出P₃為“好點(diǎn)”，同樣的方法可判斷P₄為好點(diǎn)，進(jìn)而找出正確選項(xiàng)．

解答 解：設(shè)指數(shù)函數(shù)為y=a^x，對數(shù)函數(shù)為y=log_bx；
對于對數(shù)函數(shù)，x=1時(shí)，y=0，則P₁，P₂不是對數(shù)函數(shù)圖象上的點(diǎn)；
∴P₁，P₂不是好點(diǎn)；
將P₃的坐標(biāo)分別代入指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}}\\{lo{g}_\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
解得$a=b=\frac{1}{4}$；
即P₃是指數(shù)函數(shù)$y=（\frac{1}{4}）^{x}$和對數(shù)函數(shù)$y=lo{g}_{\frac{1}{4}}x$的交點(diǎn)，即P₃為“好點(diǎn)”；
同樣，將P₄坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=2}\\{lo{g}_2=2}\end{array}\right.$；
解得$a=b=\sqrt{2}$；
∴P₄是“好點(diǎn)”；
∴“好點(diǎn)”個(gè)數(shù)為2．
故選B．

點(diǎn)評 考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)解析式的一般形式，理解“好點(diǎn)”的定義，以及指數(shù)式和對數(shù)式的互化．