Question

沿對角線AC將正方形ABCD折成直二面角后，AB與CD所在的直線所成的角等于（　　）

• A、90°
• B、60°
• C、45°
• D、30°

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：取AC中點O，連接BO，DO，容易說明OB，OC，OD兩兩垂直，所以可建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出A，B，C，D點的坐標(biāo)，根據(jù)兩向量夾角余弦公式的坐標(biāo)運算求出向量

AB

，

CD

的夾角，從而求出直線AB，CD所成角．

解答： 解：學(xué)生取AC中點O，連接BO，DO，則：BO⊥AC，DO⊥AC；
∵B-AC-D是直二面角，∴∠BOD是該二面角的平面面角；
∴∠BOD=90°，∴DO⊥BO；
∴分別以O(shè)B，OC，OD所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)原正方形邊長為1則：
A(0，-

2

2

，0)，D(0，0，

2

2

)，B(

2

2

，0，0)，C(0，

2

2

，0)；
∴

AB

=(

2

2

，

2

2

，0)，

CD

=(0，-

2

2

，

2

2

)；
設(shè)向量

AB

，

CD

的夾角為θ，則：cosθ=

AB • CD

| AB || CD|

=

- 1 2

1

=-

1

2

；
∴θ=120°，∴AB與CD所在的直線所成的角等于60°．
故選B．

點評：考查空間直角坐標(biāo)系，二面角，直二面角，二面角的平面角，向量夾角的余弦公式的坐標(biāo)運算．