已知定義域在R上的單調(diào)函數(shù)y=f(x),存在實(shí)數(shù)x,使得對于任意的實(shí)數(shù)x1,x2,總有f(xx1+xx2)=f(x)+f(x1)+f(x2)恒成立.
(1)求x的值;
(2)若f(x)=1,且對任意正整數(shù)n,有an=,bn=f()+1,記Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1,求an與Tn;
(3)在(2)的條件下,若不等式對任意不小于2的正整數(shù)n都成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
【答案】分析:(1)利用賦值法,先令 x1=x2=0,再令x1=1,x2=0,代入已知恒等式即可;
(2)確定f(n)=2n-1,可求an,證明數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求得Tn;
(3)令F(n)=an+1+an+2+…+a2n,當(dāng)n≥2時,F(xiàn)(n)>F(n-1)>…>F(2),從而可得不等式組,即可求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
解答:解:(1)令x1=x2=0,得f(0)=f(x)+2f(0),∴f(x)=-f(0)①
令x1=1,x2=0,得f(x)=f(x)+f(1)+f(0),∴f(1)=-f(0)②
由①②得f(x)=f(1)
又∵f(x)是單調(diào)函數(shù),
∴x=1;
(2)由(1)可得 f(x1+x2)=f(1)+f(x1)+f(x2)+1
則f(n+1)=f(n)+f(1)+1=f(n)+2
又∵f(1)=1
∴f(n)=2n-1(n∈N*),
∴an=
∵f(1)=f(+)=f()+f()+f(1),
∴f()=0,∴b1=f()+1=1



∴Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1=
(3)令F(n)=an+1+an+2+…+a2n
則F(n+1)-F(n)=>0
當(dāng)n≥2時,F(xiàn)(n)>F(n-1)>…>F(2)=a3+a4=


,解得

點(diǎn)評:本題考查了函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用能力,抽象函數(shù)表達(dá)式的應(yīng)用,等差等比數(shù)列的定義,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義域?yàn)镽上的函數(shù)f(x)滿足,對任意的x,y,恒有f(x-y)=
f(x)f(y)
且當(dāng)x>0時,0<f(x)<1
,
(1)求證f(0)=1,且當(dāng)x<0時有f(x)>1.
(2)判斷f(x)在R上的單調(diào)性并證明.
(3)若對任意的x∈R,不等式f(ax2)•f(1-ax)>f(2)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=a+
12x+1
是奇函數(shù).
(1)求a的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.
(3)是否存在實(shí)數(shù)k,對于任意t∈[1,2],不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)>0恒成立,若存在,求出實(shí)數(shù)k的取值范圍,若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
是奇函數(shù),其中a為實(shí)數(shù).
(1)求a的值;  
(2)判斷函數(shù)f(x)在其定義域上的單調(diào)性并證明;
(3)當(dāng)m+n≠0時,證明
f(m)+f(n)
m+n
>f(0)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•寶山區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=
-3x+a3x+1+b

(1)當(dāng)a=b=1時,求滿足f(x)≥3x的x的取值范圍;
(2)若y=f(x)的定義域?yàn)镽,又是奇函數(shù),求y=f(x)的解析式,判斷其在R上的單調(diào)性并加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時,f(x)<0,若f(-1)=2.
(1)求證:f(x)為奇函數(shù);
(2)判斷f(x)在R上的單調(diào)性(說明理由);并求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,4]上的值域.
(3)若對任意t∈[1,3],不等式f(t2-2kt)+f(2t2-1)<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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