Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（2a-1）x-3在區(qū)間[-

3

2

，2]上的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：因?yàn)楫?dāng)a等于0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[-

3

2

，2]上的最大值不為1，所以得到a不等于0，即可得到函數(shù)為二次函數(shù)，找出f（x）的對(duì)稱軸方程，分三種情況考慮：當(dāng)f（-

3

2

）等于1時(shí)，代入函數(shù)解析式即可求出a的值，然后求出對(duì)稱軸方程，經(jīng)過判斷發(fā)現(xiàn)a要小于0時(shí)，頂點(diǎn)取得最大值，與f（-

3

2

）等于1矛盾，不合題意；當(dāng)f（2）等于1時(shí)，代入函數(shù)解析式即可求出a的值，同理求出函數(shù)的對(duì)稱軸方程，判斷f（2）為最大值符合題意；當(dāng)頂點(diǎn)為最高點(diǎn)時(shí)，得到f（x₀）=1，代入解析式即可求出a的值，經(jīng)過驗(yàn)證得到滿足題意的a的值，綜上，得到滿足題意的所有a的值．

解答：解：a=0時(shí)，f（x）=-x-3，f（x）在[-

3

2

，2]上不能取得1，
故a≠0，則f（x）=ax²+（2a-1）x-3（a≠0）的對(duì)稱軸方程為x₀=

1-2a

2a

，
①令f(-

3

2

)=1，解得a=-

10

3

，
此時(shí)x₀=-

23

20

∈[-

3

2

，2]，
∵a＜0，∴f（x₀）最大，所以f(-

3

2

)=1不合適；
②令f（2）=1，解得a=

3

4

，
此時(shí)x₀=-

1

3

∈[-

3

2

，2]
因?yàn)閍=

3

4

＞0，x0=-

1

3

∈[-

3

2

，2]且距右端2較遠(yuǎn)，所以f（2）最大合適；
③令f（x₀）=1，得a=

1

2

(-3±2

2

)，經(jīng)驗(yàn)證a=

1

2

(-3-2

2

)
綜上，a=

3

4

或a=

1

2

(-3-2

2

)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．解題的關(guān)鍵是找出對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系．