【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,中心在原點(diǎn)的橢圓C的上焦點(diǎn)為,離心率等于.
求橢圓C的方程;
設(shè)過且不垂直于坐標(biāo)軸的動直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),問:線段OF上是否存在一點(diǎn)D,使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形?作出判斷并證明.
【答案】(1)(2)存在滿足條件的點(diǎn)
【解析】
(1)根據(jù)題意可得,,即可求出橢圓方程;(2)設(shè)滿足條件的點(diǎn),則,設(shè)的方程為:,(),代入橢圓方程,根據(jù)菱形的對角線互相垂直即,結(jié)合韋達(dá)定理和向量的運(yùn)算即可求出.
解:(1)由題意可知橢圓的離心率,,
所以,,進(jìn)而橢圓的方程為
(2)存在滿足條件的點(diǎn).
設(shè)滿足條件的點(diǎn),則(),
設(shè)的方程為:,(),代入橢圓方程,,
設(shè),,則,∴.
∵以、為鄰邊的平行四邊形為菱形,∴
∵
∴,且的方向向量為
∴ 即
∵,∴,
∴,∴存在滿足條件的點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(2x-),x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-,]上的最小值和最大值,并求出取得最值時x的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中,某市“創(chuàng)城辦”為了調(diào)查市民對創(chuàng)城工作的了解情況,進(jìn)行了一次創(chuàng)城知識問卷調(diào)查(一位市民只能參加一次).通過隨機(jī)抽樣,得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分100分)統(tǒng)計結(jié)果如下表所示.
組別 | |||||||
頻數(shù) | 25 | 150 | 200 | 250 | 225 | 100 | 50 |
(1)由頻數(shù)分布表可以大致認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布, 近似為這1000人得分的平均值值(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示),請用正態(tài)分布的知識求;
(2)在(1)的條件下,“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案::
(。┑梅植坏陀的可以獲贈2次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可以獲贈1次隨機(jī)話費(fèi);
(ⅱ)每次獲贈送的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為:
贈送的隨機(jī)話費(fèi)(單元:元) | 20 | 40 |
概率 | 0.75 | 0.25 |
現(xiàn)有市民甲要參加此次問卷調(diào)查,記 (單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附:參考數(shù)據(jù)與公式
,若,則
①;
②;
③.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)平面中, 的兩個頂點(diǎn)為,平面內(nèi)兩點(diǎn)、同時滿足:①;②;③.
(1)求頂點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線,直線與點(diǎn)的軌跡相交弦分別為,設(shè)弦的中點(diǎn)分別為.
①求四邊形的面積的最小值;
②試問:直線是否恒過一個定點(diǎn)?若過定點(diǎn),請求出該定點(diǎn),若不過定點(diǎn),請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,且,過點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),的周長為8.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)試問:是否存在定點(diǎn),使得為定值?若存在,求;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校、兩個班的數(shù)學(xué)興趣小組在一次數(shù)學(xué)對抗賽中的成績繪制莖葉圖如下,通過莖葉圖比較兩班數(shù)學(xué)興趣小組成績的平均值及方差
①班數(shù)學(xué)興趣小組的平均成績高于班的平均成績
②班數(shù)學(xué)興趣小組的平均成績高于班的平均成績
③班數(shù)學(xué)興趣小組成績的標(biāo)準(zhǔn)差大于班成績的標(biāo)準(zhǔn)差
④班數(shù)學(xué)興趣小組成績的標(biāo)準(zhǔn)差大于班成績的標(biāo)準(zhǔn)差
其中正確結(jié)論的編號為( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓,且點(diǎn)到橢圓C的兩焦點(diǎn)的距離之和為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ) 若,是橢圓上的兩個點(diǎn),線段的中垂線的斜率為,且直線與交于點(diǎn),求證:點(diǎn)在直線上.
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