Question

某單位設(shè)計一個展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，布設(shè)一個對角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示．為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根5米長的材料彎折而成，邊BA，AD用一根9米長的材料彎折而成，要求∠A和∠C互補(bǔ)，且AB=BC．記AB=x米，四邊形ABCD面積為S，則S的最大值為（　�。�

• A、6
• B、6

  3

• C、8
• D、8

  2

Answer 1

考點：解三角形的實際應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,解三角形

分析：在△ABD與△CBD中，分別利用余弦定理，即可確定cosA=

2

x

及x的取值范圍；四邊形ABCD的面積S=

1

2

（AB•AD+CB•CD）sinA=

(x2-4)(x2-14x+49)

，構(gòu)建函數(shù)g（x）=（x²-4）（ x²-14x+49），x∈（2，5），求導(dǎo)函數(shù)，即可求得四邊形ABCD面積的最大值．

解答： 解：AB=x米，則BC=x米，CD=5-x米，AD=9-x米，則有5-x＞0，即x＜5．
在△ABD中，由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cosA．
同理，在△CBD中，BD²=CB²+CD²-2CB•CD•cosC． 
因為∠A和∠C互補(bǔ)，所以AB²+AD²-2AB•AD•cosA=CB²+CD²-2CB•CD•cosC=CB²+CD²+2CB•CD•cosA．
即x²+（9-x）²-2 x（9-x）cosA=x²+（5-x）²+2 x（5-x）cosA．
解得cosA=

2

x

．
由余弦的定義，有

2

x

＜1，則x＞2，故x∈（2，5）．　　   
四邊形ABCD的面積S=

1

2

（AB•AD+CB•CD）sinA=

1

2

[x（5-x）+x（9-x）]

1-cos2A

=

(x2-4)(x2-14x+49)

．
記g（x）=（x²-4）（x²-14x+49），x∈（2，5）．
由g′（x）=2x（x²-14x+49）+（x²-4）（2 x-14）=2（x-7）（2 x²-7 x-4）=0，
∴x=4或x=7或x=-

1

2

．
∵x∈（2，5），∴x=4．                    
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（2，4）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（4，5）內(nèi)單調(diào)遞減．
因此g（x）的最大值為g（4）=12×9=108．
∴S的最大值為6

3

．
故選：B．

點評：本題考查函數(shù)解析式，考查余弦定理的運用，考查四邊形面積的計算，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，正確表示四邊形的面積是關(guān)鍵．