Question

【題目】已知圓，直線(xiàn)，動(dòng)圓P與圓M相外切，且與直線(xiàn)l相切.設(shè)動(dòng)圓圓心P的軌跡為E.

（1）求E的方程；

（2）若點(diǎn)A，B是E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求證：直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）； （2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由拋物線(xiàn)定義可知?jiǎng)訄A的圓心軌跡為拋物線(xiàn),根據(jù)焦點(diǎn)及準(zhǔn)線(xiàn)方程可求得拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)出直線(xiàn)AB的方程,聯(lián)立拋物線(xiàn),化簡(jiǎn)后結(jié)合韋達(dá)定理,表示出,根據(jù)等量關(guān)系可求得直線(xiàn)方程的截距,即可求得所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）由題意動(dòng)圓P與相切,且與定圓外切

所以動(dòng)點(diǎn)P到的距離與到直線(xiàn)的距離相等

由拋物線(xiàn)的定義知,點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn),直線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)

故所求P的軌跡方程E為

（2）證明：設(shè)直線(xiàn),,,

將直線(xiàn)AB代入到中化簡(jiǎn)得,

所以,

又因?yàn)?/span>

所以

則直線(xiàn)AB為恒過(guò)定點(diǎn)