Question

17．四面體ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，則該四面體體積的最大值是$\frac{1}{8}$，表面積的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1．

Answer 1

分析 當平面ABC⊥平面BDC時，該四體體積最大；當AC⊥CD，AB⊥BD時，該四面體表面積取最大值．

解答 解：∵四面體ABCD中，AB=AC=BC=BD=CD=1，
∴當平面ABC⊥平面BDC時，該四體體積最大，
此時，過D作DE⊥平面ABC，交BC于E，連結AE，
則AE=DE=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴該四面體體積的最大值：
S_max=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{8}$．
∵△ABC，△BCD都是邊長為1的等邊三角形，
面積都是S=$\frac{1}{2}×1×1×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴要使表面積最大需△ABD，△ACD面積最大，
∴當AC⊥CD，AB⊥BD時，表面積取最大值，
此時${S}_{△ADC}={S}_{{\;}_{△}ABC}$=$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$，
四面體表面積最大值S_max=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}$=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{8}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}+1$．

點評 本題考查四面體的體積的最大值和表面積最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．