如圖，幾何體中，為邊長為的正方形，為直角梯形，，，，，．

（1）求異面直線和所成角的大�。�
（2）求幾何體的體積．

(1) ；（2）．

解析試題分析：（1）求異面直線所成的角，一般根據(jù)定義，過異面直線中的一條上某一點作中一條直線的平行線，把異面直線所成的角化為相交直線所夾的銳角或直角，而這可能通過在三角形中求得,如果圖形中有兩兩相互垂直且交于同一點的三條直線，那么我們可以建立空間直角坐標系，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為空間兩向量的夾角，要注意異面直線所成的角的范圍是，而向量的夾角范圍是，解題時注意轉(zhuǎn)化；（2）這個幾何體我們要通過劃分，把它變成幾個可求體積的幾何體，如三棱錐和四棱錐，這兩個棱錐的體積都易求，故原幾何體的體積也易求得．
試題解析：（1）解法一：在的延長線上延長至點使得,連接.
由題意得，，，平面，
∴平面，∴，同理可證面.

∵ ，，
∴為平行四邊形，
∴.
則（或其補角）為異面直線和
所成的角.                          3分
由平面幾何知識及勾股定理可以得

在中，由余弦定理得
．
∵ 異面直線的夾角范圍為，
∴ 異面直線和所成的角為．                             7分
解法二：同解法一得所在直線相互垂直，故以為原點，所在直線
分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，                            2分

可得，
∴ ，
得.               4分
設向量夾角為，則
．
∵ 異面直線的夾角范圍為，
∴ 異面直線和所成的角為．                 7分
（２）如圖，連結(jié)，過作的垂線，垂足為，則平面，且.   9分

∵

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖6,四棱柱的所有棱長都相等,,四邊形和四邊形為矩形.
(1)證明:底面;
(2)若,求二面角的余弦值.

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如圖，已知正方體的棱長為2，E、F分別是、的中點，過、E、F作平面交于G．
(l)求證：EG∥；
(2)求二面角的余弦值；
(3)求正方體被平面所截得的幾何體的體積．

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如圖，已知長方形中，,為的中點.將沿折起，使得平面平面.


（1）求證：；
（2）若點是線段上的一動點，問點E在何位置時，二面角的余弦值為．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，，平面，，，，.

（1）若是線段的中點，求證：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱AB上的動點.

（1）求證：DA1⊥ED1；
（2）若直線DA1與平面CED1成角為45o，求的值；
（3）寫出點E到直線D1C距離的最大值及此時點E的位置（結(jié)論不要求證明）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在四棱錐中，//，，，平面，.

（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成角的余弦值；
（3）設點為線段上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2，E是PB上任意一點．

(1)求證：AC⊥DE；
(2)已知二面角A­PB­D的余弦值為，若E為PB的中點，求EC與平面PAB所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，圓錐的高PO＝4，底面半徑OB＝2，D為PO的中點，E為母線PB的中點，F(xiàn)為底面圓周上一點，滿足EF⊥DE.

(1)求異面直線EF與BD所成角的余弦值；
(2)求二面角OOFE的正弦值．

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