Question

2．（文科）設(shè)A在平面BCD內(nèi)的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中點(diǎn)O，
AC=BC=1，CD=$\sqrt{2}$，
求（1）AC與平面BCD所成角的大��；
（2）異面直線AB和CD的大�。�

Answer 1

分析 （1）因?yàn)锳在平面BCD內(nèi)的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中點(diǎn)O，所以O(shè)A是三棱錐的高，在直角三角形AOC中可計(jì)算AO，再由OA⊥平面BCD，知∠ACO是AC與平面BCD所成角，由此能求出AC與平面BCD所成角的大小．
（2）取BC中點(diǎn)F，AC中點(diǎn)E，利用三角形中位線定理證明∠EFO即為異面直線AB和CD所成的角，再在△EFO中分別計(jì)算三邊的長(zhǎng)，利用解直角三角形知識(shí)即可求得此角．

解答 解：（1）∵A在平面BCD內(nèi)的射影是直角三角形BCD的斜邊BD的中點(diǎn)O，
∴OA是三棱錐的高
∵BC=1，CD=$\sqrt{2}$．
∴OC=OB=OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OA=$\sqrt{A{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∵OA⊥平面BCD，∴∠ACO是AC與平面BCD所成角，
∵tan∠ACO=$\frac{AO}{CO}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴∠ACO=30°，
∴AC與平面BCD所成角為30°．
（2）如圖，取BC中點(diǎn)F，AC中點(diǎn)E，連接EF，OE，OF
∵EF∥AB，OF∥CD
∴∠EFO即為異面直線AB和CD所成的角
在△EFO中，EF=$\frac{AB}{2}$=$\frac{\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
OF=$\frac{CD}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，OE=$\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{A{O}^{2}+O{C}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠FEO=90°，∠EFO=45°
∴異面直線AB和CD所成的角的大小為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的求法，考查異面直線所成角的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查整體思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，考查數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)用意識(shí)，是中檔題．