已知橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（-c，0）和F2（c，0）（c>0），過點E（，0）的直線與橢圓相交于A、B兩點，且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|.
（1）求橢圓的離心率；
（2）求直線AB的斜率；
（3）設點C與點A關于坐標原點對稱，直線F2B上有一點H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圓上，求的值。
解：（1）由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得

從而
整理，得a2=3c2
故離心率；
（2）由（1），得
所以橢圓的方程可寫為
設直線AB的方程為
即
由已知設A（x1，y1），B（x2，y2），則它們的坐標滿足方程組
消去y并整理，得
依題意，
而

由題設知，點B為線段AE的中點，所以x1+3c=2x  ③
聯(lián)立①③解得
將x1、x2代入②中，解得；
（3）由（2）可知
當時，得
由已知得
線段AF1的垂直平分線l的方程為
直線l與x軸的交點是△AF1C的外接圓的圓心，因此外接圓的方程為
直線F2B的方程為
于是點H（m，n）滿足方程組
由m≠0，解得
故
當時，同理可得。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓=1(a＞b＞0)與雙曲線=1(m＞0,n＞0)有相同的焦點(-c,0)和(c,0),若c是a、m的等比中項,n2是2m2與c2的等差中項,則橢圓的離心率是(    )

A.                    B.               C.                 D.

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆廣東省、陽東一中高二上聯(lián)考文數(shù)試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分14分）

如圖，已知橢圓=1(a＞b＞0)，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上的頂點，直線AF2交橢圓于另 一點B.

(1)若∠F1AB=90°，求橢圓的離心率；

(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學（天津卷解析版） 題型：解答題

已知橢圓（a>b>0）,點在橢圓上。

（I）求橢圓的離心率。

（II）設A為橢圓的右頂點，O為坐標原點，若Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|，求直線OQ的斜率的值。

【考點定位】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、平面內兩點間距離公式等基礎知識. 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質，以及數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年湖北省天門市高三天5月模擬文科數(shù)學試題 題型：解答題

已知橢圓（a＞b＞0）的焦距為4，且與橢圓有相同的離心率，斜率為k的直線l經(jīng)過點M（0，1），與橢圓C交于不同兩點A、B．

   （1）求橢圓C的標準方程；

   （2）當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內時，求k的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年河北省邯鄲市高二上學期期末考試數(shù)學理卷 題型：解答題

(本小題滿分分)

（普通高中）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，焦距是函數(shù)的零點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于、兩點,，求k的值．

 

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