Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，其中DA⊥AB，AD∥BC．PA=2AD=BC=2，AB=2 ．

（1）求異面直線PC與AD所成角的大小；
（2）若平面ABCD內(nèi)有一經(jīng)過點(diǎn)C的曲線E，該曲線上的任一動點(diǎn)Q都滿足PQ與AD所成角的大小恰等于PC與AD所成角．試判斷曲線E的形狀并說明理由；
（3）在平面ABCD內(nèi)，設(shè)點(diǎn)Q是（2）題中的曲線E在直角梯形ABCD內(nèi)部（包括邊界）的一段曲線CG上的動點(diǎn)，其中G為曲線E和DC的交點(diǎn)．以B為圓心，BQ為半徑r的圓分別與梯形的邊AB、BC交于M、N兩點(diǎn)．當(dāng)Q點(diǎn)在曲線段CG上運(yùn)動時(shí)，試求圓半徑r的范圍及VP﹣BMN的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，以A為原點(diǎn)，直線AB為x軸、直線AD為y軸、直線AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

于是有P（0，0，2）， ，D（0，1，0）．

則有 ，又 ．

則異面直線PC與AD所成角θ滿足 ，

所以異面直線PC與AD所成角的大小為

（2）解：設(shè)點(diǎn)Q（x，y，0），點(diǎn)P（0，0，2）、點(diǎn)D（0，1，0）、點(diǎn)A（0，0，0），

則 ， ，

則 ， ，

化簡整理得到3y2﹣x2=4，

則曲線E是平面ABCD內(nèi)的雙曲線

（3）解：在如圖所示的xOy的坐標(biāo)系中，因?yàn)镈（0，1）、 、 ，設(shè)G（x1，y1）．則有 ，故DC的方程為 ，

代入雙曲線E：3y2﹣x2=4的方程可得，3y2﹣8（y﹣1）2=45y2﹣16y+12=0，其中 ．

因?yàn)橹本�DC與雙曲線E交于點(diǎn)C，故 ．進(jìn)而可得 ，即 ．

故雙曲線E在直角梯形ABCD內(nèi)部（包括邊界）的區(qū)域滿足 ， ．

又設(shè)Q（x，y）為雙曲線CG上的動點(diǎn)， ．

所以，

因?yàn)? ，所以當(dāng) 時(shí)， ；

當(dāng) 時(shí)， ．

而要使圓B與AB、BC都有交點(diǎn)，則|BQ|≤2．

故滿足題意的圓的半徑取值范圍是 ．

因?yàn)镻A⊥DMN，所以P﹣DMN體積為 ．故問題可以轉(zhuǎn)化為研究△BMN的面積．又因?yàn)椤螹BN為直角，所以△BMN必為等腰直角三角形．

由前述，設(shè) ，則|BM|=|BN|=r，

故其面積 ，所以 ．

于是， ．

（當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動到與點(diǎn)C重合時(shí)，體積取得最大值；當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動到橫坐標(biāo) 時(shí)，

即|BQ|長度最小時(shí)，體積取得最小值）．

【解析】（1）如圖，以A為原點(diǎn)，直線AB為x軸、直線AD為y軸、直線AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量夾角公式即可得出．（2）設(shè)點(diǎn)Q（x，y，0），點(diǎn)P（0，0，2）、點(diǎn)D（0，1，0）、點(diǎn)A（0，0，0），利用 ，化簡整理即可得出．（3）設(shè)G（x1 ， y1）．則 ，把DC的方程為代入雙曲線E：3y2﹣x2=4的方程可得，可得y1y2 ． 可得G．故雙曲線E在直角梯形ABCD內(nèi)部（包括邊界）的區(qū)域滿足 ， ，．又設(shè)Q（x，y）為雙曲線CG上的動點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間距離公式及其范圍即可得出．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用異面直線及其所成的角和空間向量的數(shù)量積運(yùn)算的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；等于的長度與在的方向上的投影的乘積．