Question

如圖，將一塊直角三角形板ABO放置于平面直角坐標(biāo)系中，已知AB=BO=2，AB⊥OB．點(diǎn)P（1，）是三角板內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)因三角板中陰影部分（即△POB）受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經(jīng)過點(diǎn)P的任一直線MN將三角板鋸成△AMN，設(shè)直線MN的斜率k．
（Ⅰ）試用k表示△AMN的面積S，并指出k的取值范圍；
（Ⅱ）試求S的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）根據(jù)題意可得，MN：，OA：y=x，
解得 ，．且 ，
于是 ，．
所以 ．
故，．
（Ⅱ），
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，S'≤0，
故S=f（k）在上是減函數(shù)．
所以當(dāng)時(shí)，S取得最大值．
分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，先求直線MN，OA的方程，可解得 ，．且 ，
從而可求 ，．進(jìn)而可求△AMN的面積S．
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，可知S=f（k）在上是減函數(shù)，從而可求S取得最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是利用三角形的面積公式，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式．