【題目】己知橢圓過點(diǎn),,是兩個(gè)焦點(diǎn).以橢圓的上頂點(diǎn)為圓心作半徑為的圓,

1)求橢圓的方程;

2)存在過原點(diǎn)的直線,與圓分別交于,兩點(diǎn),與橢圓分別交于,兩點(diǎn)(點(diǎn)在線段上),使得,求圓半徑的取值范圍.

【答案】12

【解析】

1)由題意結(jié)合橢圓性質(zhì)可得,進(jìn)而可得,即可得解;

2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí),;當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為:, ,,聯(lián)立方程后利用弦長公式可得,由圓的性質(zhì)可得,轉(zhuǎn)化條件得,可得,即可得解.

1)設(shè)橢圓的焦距為,

由題意,所以,,

故橢圓的方程為;

2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí),圓過原點(diǎn),符合題意,;

當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為:,,

由直線與橢圓交于、兩點(diǎn),

,所以,,

,

所以

點(diǎn)到直線的距離,則 ,

因?yàn)?/span>,點(diǎn)在線段上,所以點(diǎn)在線段的延長線上,

只需,

所以,

因?yàn)?/span>,

所以,所以,;

綜上,的取值范圍為.

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2)求直線與平面所成角的正弦值.

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