Question

【題目】已知圓與x軸的正半軸交于點A，過圓O上任意一點P作x軸的垂線，垂足為Q，線段PQ的中點的軌跡記為曲線，設過原點O且異于兩坐標軸的直線與曲線交于B，C兩點，直線AB與圓O的另一個交點為M，直線AC與圓O的另一個交點為N，設直線AB，AC的斜率分別為.

（1）求的值；

（2）判斷是否為定值？若是，求出此定值；否則，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）是定值，定值為

【解析】

（1）設線段中點為，則，將點代入圓方程，求出曲線方程，設，則，求出，結合點在橢圓上，即可得出結論；

（2）設，，分別設直線AB，AC為，且，將直線方程分別與圓、橢圓聯立，求出，即可求出結果.

解：（1）設線段PQ中點為，則，

代入圓方程即得D點軌跡方程為，

設，則，且，

則

；

（2）分別設直線AB，AC為，

且，

，

，

同理可得：，

所以，

所以.