Question

【題目】已知函數(shù)， ，（其中， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)， ……）.

（1）令，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知在處取得極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得，再根據(jù)是否變號(hào)進(jìn)行分類討論單調(diào)性：當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)不變號(hào)，為單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)先負(fù)后正，對(duì)應(yīng)單調(diào)區(qū)間為先減后增（2）由題意得，結(jié)合（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性分類討論在處是否為極小值：當(dāng)時(shí)， 在附近先減后增，為極小值；當(dāng)時(shí)，按與零大小關(guān)系進(jìn)行二次討論： ， 單調(diào)遞增； 在附近先減后增，為極小值；當(dāng)時(shí)， ，無(wú)極值； 時(shí)， 單調(diào)遞減； 在附近先增后減，為極大值；綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：解: (Ⅰ) 因?yàn)?/span>，

所以，

當(dāng)時(shí)， ， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，

當(dāng)時(shí)，由，得，

時(shí)， ， 時(shí)， ，

所以的減區(qū)間為 ，增區(qū)間為

綜上可得，當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)， 的增區(qū)間為，減區(qū)間為.

（Ⅱ）由題意得， ，

（1）當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，

所以在處取得極小值，符合題意.

（2）當(dāng)時(shí)， ， 由（Ⅰ）知在單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

所以在處取得極小值，符合題意.

（3）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知在區(qū)間單調(diào)遞減， 在區(qū)間單調(diào)遞增，

所以在處取得最小值，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以在處無(wú)極值，不符合題意.

（4）當(dāng)時(shí)， ，由（Ⅰ）知的減區(qū)間為，

所以當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

所以在處取得極大值，不符合題意，

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.