Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為T_n，試求T_n的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a_n+1=S_n+1-S_n=，把S_n=na_n-2n（n-1）代入得a_n+1-a_n=4．判斷出數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）把（1）中求得a_n代入Tn，用裂項(xiàng)法求和，判斷出T_n＜，根據(jù)T_n-T_n-1＞0判斷T_n單調(diào)遞增，進(jìn)而判斷出T_n≥T₁，進(jìn)而求得T_n得取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）由S_n=na_n-2n（n-1）
得a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n
∴a_n+1-a_n=4．
所以，數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．
∴a_n=4n-3a₂=5，a₃=9，a₄=13
（Ⅱ）∵=
又，易知T_n單調(diào)遞增，故
∴，即T_n得取值范圍是
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．考查了學(xué)生對(duì)等差數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)的理解和運(yùn)用．