Question

18．已知AB為經(jīng)過拋物線y²=6x焦點F的弦，C為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點，若弦AB的斜率為$\frac{4}{3}$，則∠ACB的正切值為（　�。�

• A． $\frac{40}{9}$
• B． $-\frac{8}{21}$
• C． 1
• D． 不存在

Answer 1

分析 根據(jù)直線l的斜率k=$\frac{4}{3}$，設(shè)出A的坐標(biāo)，代入拋物線y²=6x，求出A的坐標(biāo)，可求tan∠ACF，同理可得tan∠BCF的大小，再利用二倍角的正切公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵拋物線方程為y²=2px=6x，∴p=3
∵焦點F坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0），準(zhǔn)線l方程為x=-$\frac{3}{2}$
∴C點坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，0）
∵直線AB經(jīng)過點F（$\frac{3}{2}$，0），AB的斜率為$\frac{4}{3}$，
∴設(shè)點A的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}+x$，$\frac{4}{3}x$），（x＞0），
代入拋物線方程可得，16x²-18px-9p²=0，
可以解得，x=$\frac{9}{2}$或x=-$\frac{9}{8}$（舍去），
∴tan∠ACF=$\frac{\frac{4}{3}x}{x+3}$=$\frac{4}{5}$，
同理，可以解得，tan∠BCF=$\frac{4}{5}$，
∴tan∠ACB=tan2∠ACF=$\frac{\frac{4}{5}+\frac{4}{5}}{1-\frac{4}{5}×\frac{4}{5}}$=$\frac{40}{9}$．
故選：A．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查二倍角的正切公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．