Question

在一次聯(lián)考后，某校對(duì)甲、乙兩個(gè)理科班的數(shù)學(xué)考試成績進(jìn)行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)成績后，得到如下的2×2列聯(lián)表，且已知在甲、乙兩個(gè)理科班全部110人中隨機(jī)抽取人為優(yōu)秀的概率為

3

11

．

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀
甲班	10
乙班		30
合計(jì)			110

（1）請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表；
（2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為成績與班級(jí)有關(guān)系？
（3）在甲、乙兩個(gè)理科班優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，用ξ表示抽得甲班的學(xué)生人數(shù)，求ξ的分布列．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由于從甲、乙兩個(gè)理科班全部110人中隨機(jī)抽取人為優(yōu)秀的概率為

3

11

．可得兩個(gè)班優(yōu)秀的人數(shù)=

3

11

×110=30，乙班優(yōu)秀的人數(shù)=30-10=20，甲班非優(yōu)秀的人數(shù)=110-（10+20+30）=50．即可完成表格．
（2）假設(shè)成績與班級(jí)無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得：K²=

110(10×30-20×50)2

60×50×30×80

≈7.487．
由于K²＞6.635，因此有99%的把握可知假設(shè)不成立．
（3）由（1）可知：甲、乙兩個(gè)理科班優(yōu)秀的人數(shù)分別為10，20．ξ的可能取值為0，1，2．可知：ξ服從超幾何分布．

解答： 解：（1）如表格所示，

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計(jì)
甲班	10	50	60
乙班	20	30	50
合計(jì)	30	80	110

由于從甲、乙兩個(gè)理科班全部110人中隨機(jī)抽取人為優(yōu)秀的概率為

3

11

．
∴兩個(gè)班優(yōu)秀的人數(shù)=

3

11

×110=30，
∴乙班優(yōu)秀的人數(shù)=30-10=20，甲班非優(yōu)秀的人數(shù)=110-（10+20+30）=50．
即可完成表格．
（2）假設(shè)成績與班級(jí)無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得：K²=

110(10×30-20×50)2

60×50×30×80

≈7.487．
∴K²＞6.635，因此有99%的把握可知假設(shè)不成立．
故成績與班級(jí)有關(guān)．
（3）由（1）可知：甲、乙兩個(gè)理科班優(yōu)秀的人數(shù)分別為10，20．ξ的可能取值為0，1，2．
可知：ξ服從超幾何分布．
∴P（ξ=0）=

C 2 20

C 2 30

=

38

87

，P（ξ=1）=

C 1 10 C 1 20

C 2 30

=

40

87

，P（ξ=2）=

C 2 10

C 2 30

=

9

87

．
可得ξ的分布列：

ξ	0	1	2
P	38 87	40 87	9 87

點(diǎn)評(píng)：本題考查了列聯(lián)表、獨(dú)立性檢驗(yàn)、超幾何分布列，屬于難題．